HAVO WB1,  2002 - I
Functies
In de figuur hiernaast zijn de grafieken getekend van  de functies
 f (x) = √(-2x + 12)  en  g(x) = x - 1
4p 1. Los op  f(x) ≤ g(x). Rond de getallen in je antwoord die niet geheel zijn af op twee decimalen.
In één punt van de grafiek van   f  is de  richtingscoëfficiënt  van de raaklijn gelijk aan  -1.
4p 2. Bereken de coördinaten van dit punt. Rond deze coördinaten af op één decimaal.

 
De verticale lijn x = a snijdt de grafiek van  f  in punt S en de grafiek van g in punt T; S ligt boven T.
4p 3. Onderzoek voor welke waarde van a de lengte van ST gelijk is aan 2. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 
Schuttersfeest
De schutterij (= schietvereniging) St-Joseph uit Waubach organiseert het Dreiländereck-treffen.
Aan dit schuttersfeest doen 62 schutterijen en 9 muziekkorpsen mee. Het feest wordt geopend met een optocht van de 71 deelnemende groepen. Bij deze optocht lopen alle schutterijen en muziekkorpsen achter elkaar door het dorp. De eerste en de laatste groep in deze optocht zijn muziekkorpsen.

De muziekkorpsen uit Waubach en Lauradorp willen graag op de eerste of laatste plaats in de optocht worden ingedeeld. Het feestcomité wijst door loting onder de negen muziekkorpsen de eerste en laatste plaats toe.
4p 4. Bereken de kans dat de muziekkorpsen uit Waubach en Lauradorp beiden gekozen worden.

 
Stel dat het feestcomité vervolgens voor de andere zeven muziekkorpsen willekeurig zeven plaatsen kiest uit de plaatsen 2 tot en met 70.
4p 5. Onderzoek of men dan uit meer dan 1 miljard verschillende zeventallen kan kiezen.

 
In de tabel hieronder is te zien hoeveel schutterijen en muziekkorpsen aan het schutterfeest meedoen en uit welk land ze afkomstig zijn.

  Nederland Duitsland België
Aantal schutterijen 16 15 31
Aantal muziekkorpsen 7 1 1


Elke Nederlandse schutterij heeft eigen muzikanten in haar gelederen, de buitenlandse schutterijen hebben dit niet. Het  feestcomité wil de beschikbare muziek gelijkmatig over de optocht verdelen en besluit daarom tot de volgende indeling:

plaats 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 66 67 68 69 70 71
groep M S M S S M S S ... M S S M S M

M stelt een muziekkorps voor of een Nederlandse schutterij met muziek.
S stelt een buitenlandse schutterij voor.

De buitenlandse schutterijen treden dus steeds in groepjes van twee op, behalve aan de kop en de staart van de optocht.
4p 6. Leg uit dat deze indeling mogelijk is op grond van de tabel hierboven.

 
Het feestcomité besluit de muziekkorpsen uit Waubach en uit Lauradorp elk één van de plaatsen 1 en 71 te geven en de overige groepen te verdelen over de plaatsen 2 tot en met 70. Daarbij wil men zich houden aan de bovengenoemde indeling.
4p 7. Bereken hoeveel verschillende volgordes er dan mogelijk zijn.

 
Sterkte van een balk
In een bouwconstructie worden houten balken door verticale krachten belast. De strekte van zo'n balk hangt dan af van zijn afmetingen en de gebruikte houtsoort.
We bekijken liggende balken met een rechthoekige doorsnede. Balken kunnen op twee manieren worden neergelegd; met de lange rechthoekszijde horizontaal of verticaal. We noemen dit horizontaal of verticaal geplaatste balken. Zie de figuur hieronder. De richting van de krachten is aangegeven met pijlen.
Voor de sterkte S van een balk van een bepaalde houtsoort geldt de formule:  S = 0,12 · b · h2.
Hierbij is b de basis in cm en h de hoogte van de dwarsdoorsnede in cm.

Een balk van deze houtsoort heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede van 24 cm bij 6 cm.
Deze balk kan in verticale en in horizontale stand worden geplaatst.
3p 8. In welke stand is de sterkte het grootst? Licht je antwoord toe.
De oppervlakte van de rechthoekige dwarsdoorsnede van een balk van deze houtsoort is gelijk aan 60 cm2. Voor de sterkte geldt:  S = 100
5p 9. Bereken de afmetingen h en b van deze dwarsdoorsnede. Geef h en b in één decimaal nauwkeurig.

 
Uit een cilindervormige boom van dezelfde houtsoort wil men een balk zagen met basis b en hoogte h. Voor deze balk geldt nog steeds de formule S = 0,12 · b · h2.
De cirkelvormige dwarsdoorsnede heeft een diameter van 40 cm. Zie de figuur hiernaast.

In deze situatie kan voor de sterkte de volgende formule worden gevonden: 
S = 192·b - 0,12 · b3.
4p 10. Toon aan dat deze formule juist is.

 
Men wil de balk zo uit de boom zagen dat de sterkte S maximaal is.
5p 11. Bereken met behulp van differentiëren de afmetingen van de dwarsdoorsnede van de balk in dat geval. Geef de waarden van b en h in één decimaal nauwkeurig.
 
Zwangerschapsduur
Vrouwen die zwanger zijn kunnen bij de bevalling begeleid worden door een verloskundige of een gynaecoloog. In de figuur hiernaast is de procentuele verdeling van de duur van de zwangerschap (in weken) weergegeven voor bevallingen begeleid door een verloskundige en voor bevallingen begeleid door een gynaecoloog.
2p 12. Mag je uit deze figuur concluderen dat het aantal bevallingen bij de verloskundige groter is dan het aantal bevallingen bij de gynaecoloog? licht je antwoord toe.
Op grond van de figuur nemen we aan dat bij een gynaecoloog de kans op een bevalling met een zwangerschapsduur van 40 weken 22% is.

De gynaecoloog begeleidt in een jaar 150 bevallingen.
5p 13. Bereken de kans dat bij meer dan 30 bevallingen de zwangerschapsduur 40 weken is. Geef je antwoord in procenten nauwkeurig.

 
Een zwangerschap duurt gemiddeld 40 weken.
Neem bij de volgende vragen aan dat de zwangerschapsduur normaal verdeeld is. 85% van de zwangere vrouwen bevalt tussen de 266e en de 294e dag. Uit deze gegevens is af te leiden dat de standaardafwijking op gehelen afgerond 10 dagen is.
4p 14. Bereken de standaardafwijking in één decimaal nauwkeurig.

 
Neem in het vervolg van deze opgave voor de standaardafwijking 10 dagen.
Baby's die geboren worden na een zwangerschap van 37 weken of minder heten te vroeg geboren.

De kans dat een baby te vroeg geboren wordt is ongeveer 1,8%
3p 15. Toon dit aan.

 
Volgens het Centraal Bureau voor de Statistiek worden op een doorsnee dag in  ons land 520 kinderen geboren.
6p 16. Bereken in gehele procenten de kans dat er op een doorsnee dag tussen de 5 en 15 baby's te vroeg geboren worden.

 
Beatrix-euro's
De euromunten die sinds 1 januari 2002 in omloop zijn gebracht hebben per land aan één zijde een karakteristieke afbeelding behorend bij dat land. Zo heeft de Nederlandse euromunt een afbeelding van koningin Beatrix. In NRC-Handelsblad van 31 - 10 - 1997 stond hierover een artikel. Hieronder staat een deel van de tekst.
Met de muntunie breekt de tijd aan dat reizigers en toeristen met hun eigen geld op zak overal in Europa kunnen betalen. Na verloop van tijd komen er in Nederland dus Duitse, Belgische of Franse euromunten via Zandvoort, de Keukenhof of het Leidseplein in omloop.
Als zo jaarlijks 3 procent van alle munten wordt vervangen door buitenlandse euro's dan heeft, volgens een eenvoudig groeimodel, in 2020 nog maar iets meer dan de helft van de munten in		   binnenlandse omloop het 'nationale' karakter. De rest bestaat uit Brandenburger Tor euro's, Arc de Triomphe euro's, of welk nationale karakteristiek andere EU-landen uiteindelijk voor hun eigen muntzijde zullen kiezen. Als de mobiliteit van Europeanen fors toeneemt, en elk jaar 7,5 % van de euro's vervangen wordt, dan wordt de Beatrix-euro al snel een zeldzaam verschijnsel in het Nederlandse Muntbestand.
In deze opgave nemen we aan dat op 1 januari 2002 alle munten in ons land 'nationale' euro's (Beatrix-euro's) waren. Verder nemen we aan dat vanaf die datum in Europa geen nieuwe euro's bijgemaakt worden of verloren gaan.

Bij een jaarlijkse vervanging van 3% van alle munten in ons land door buitenlandse euromunten is de groeifactor voor het aantal Beatrix-euro's in ons land elk jaar 0,97. Volgens het artikel zal bij dit vervangingspercentage in 2020 nog maar iets meer dan de helft van de munten in ons land Beatrix-euro's zijn.
3p 17. Onderzoek met een berekening of deze bewering waar is.

 
Of het percentage munten dat jaarlijks in ons land zal worden vervangen door buitenlandse munten inderdaad 3 is valt moeilijk te voorspellen. Neem aan dat dit vervangingspercentage elk jaar het zelfde is en noem het x.

Neem x = 7,5. Volgens het artikel zal bij dit vervangingspercentage de Beatrix-euro in ons land snel een zeldzaam verschijnsel zijn.
4p 18. Bereken in welk jaar voor het eerst geldt dat op 1 januari minder dan 10% van de munten in ons land Beatrix-euro's zijn.

 
Het resterende percentage Beatrix-euro's in ons land (B) op een bepaald moment hangt af van het vervangingspercentage x.
Om een beeld te geven van de situatie verder weg in de toekomst stond in het NRC-artikel de grafiek van het verband tussen B en x zoals dat zal gelden op 1 januari 2020.
Zie de figuur hieronder.
Volgens de laatste zin van het artikel geldt: als elk jaar 7,5 procent van de euro's vervangen wordt dan wordt de Beatrix-euro al snel een zeldzaam verschijnsel in Nederland.
3p 19. Hoe blijkt uit de grafiek dat deze bewering overdreven is?
5p 20. Teken in de figuur de grafiek van het verband tussen B en x op 1 januari 2010. Licht je werkwijze toe.

 
Omdat we aannemen dat er geen euro's worden bijgemaakt of verloren gaan is het aantal Beatrix-euro's in Europa een vast percentage van het totaal aantal euro's. Na verloop van tijd zal door de blijvende uitwisseling het percentage Beatrix-euro's dat in Nederland in omloop is steeds dichter bij dit vaste percentage komen.
3p 21. Verklaar hiermee dat het in deze opgave gekozen wiskundige model, dat uitgaat van een vast vervangingspercentage, voor de lange termijn niet juist is.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 1e opl. √(-2x + 12) = x - 1  ⇒  -2x + 12 = (x- 1)2  ⇒ -2x + 12 = x2 - 2x + 1 ⇒  x2 = 11
Dus  x = √11 » 3,32 (of -Ö11 maar die vervalt)
Uit een plot is af te lezen dat f(x) £  g(x) geldt voor  3,32 £  x £ 6
2e opl. Y1 = √(-2x + 12)   en   Y2 = x - 1  invoeren in de GR.
INTERSECT levert  x  ≈ 3,32 en je kunt aflezen dat de oplossing is 3,32 £  x £ 6
   
2. In het gevraagde punt moet de afgeleide dus gelijk zijn aan -1.
Voer bij Y1 de functie zelf in.
Voer bij Y2 een benadering voor de afgeleide in:  Y2 = (Y1(X + 0,001) - Y1(X))/0,001    (Y1 met VARS)
Voer in Y3 = -1 en gebruik INTERSECT om het snijpunt van Y2 en Y3 te vinden. Dat levert x = 5,5
f(5,5) = 1 dus het gevraagde punt is (5.5 , 1)
   
3. De lengte van ST is het verschil van de y-coördinaten :  ST = f(a) - g(a)
1e opl. Voer in  Y1 = √(-2x + 12) -  (x - 1)  en  Y2 = 2.
Gebruik INTERSECT om te vinden  x = 1,87.  De oplossing is dus  a = 1,87
2e opl. √(-2x + 12) -  (x - 1)  = 2  ⇒ √(-2x + 12) = 2 + x - 1 = 1 + x
Kwadrateren geeft  -2x + 12 = (1 + x)2 = 1 + 2x + x2  dus  x2 + 4x - 11 = 0
De ABC-formule geeft  x = 1,87  of  x = -5,87  maar de laatste valt af. Dus de oplossing is a = 1,87
     
4. 1e opl. De kans dat één van beiden de eerste plaats krijgt is  2/9.
De kans dat daarna de ander de tweede plaats krijgt is  1/8.
Totaal wordt de kans dan  (2/9) • (1/8) = 1/36 = 0,027...
2e opl. 2 uit de 9 kiezen kan op  9 nCr 2 = 36 manieren. Bij één van deze 36 manieren zijn beide korpsen gekozen. De kans is daarom 1/36.
   
5. Er zijn 69 plaatsen waar er 7 uit gekozen moeten worden.
Dat kan op  69 nCr 7 = 1.078.897.248 manieren en dat is meer dan 1 miljard.
     
6. 1e opl. Er zijn 46 groepen zonder muziek en 25 met muziek.
Tussen kop (M) en staart (M) lopen nog 46 groepen zonder muziek en 23 met muziek.
Dat zijn 23 drietallen SMS
2e opl. Er zijn 46 groepen zonder muziek en 25 met muziek.
Bij weglaten van het beginstuk MSM en het eindstuk MSM zijn nog 44 groepen zonder muziek en 21 met muziek over.
Van 44 groepen zonder muziek maak je 22 tweetallen. Op de 21 plaatsen daartussen passen precies de groepen met muziek.
   
7. Voor begin- en eindplaats zijn 2 mogelijkheden.
Er moeten daartussen nog 23 M-plaatsen en 46 S-plaatsen worden gekozen.
De M-plaatsen kan op 23! manieren en de S-plaatsen op 46! manieren.
In totaal geeft dat  2 • 23! • 46! ≈ 2,8 • 1080 manieren.
   
8. Verticale stand:  S = 0,12 • 6 • 242 = 414,72
Horizontale stand:  S = 0,12 • 24 • 62 = 103,68
Dus in verticale stand is de sterkte het grootst.
   
9. Oppervlakte 60 geeft  b • h = 60  ofwel  b = 60/h
S = 100 geeft  0,12 • b • h2 = 100
b vervangen door 60/h geeft dan  100 = 0,12 • (60/h) • h2 = 0,12 • 60 • h
dus h = 100/(0,12 • 60) = 13,9 en daarna  b = 60/h = 60/13,9 = 4,3
   
10. Pythagoras geeft  b2 + h2 = 402  dus  h2 = 1600 - b2
Vervang in de S-formule  h2 door  1600 - b2:    S = 0,12 • b • (1600 - b2) = 192b - 0,12b3.
   
11. S ' = 0  ⇒  192 - 0,36b2 = 0  ⇒  0,36b2 = 192  ⇒  b2 = 533,33  ⇒  b = 23,1
Dat geeft vervolgens h = 32,7.
12. Nee, het zijn procenten dus totalen kun je niet aflezen.
13. Het aantal bevallingen na 40 weken is binomiaal verdeeld met n = 150 en p = 0,22
P(X > 30) = 1 - P(X ≤ 30) = 1 - BINOMCDF(150 , 0.22 , 30) = 1 - 0,31616... = 0,682383... dus  68%
14. Y1 = NORMALCDF(266 , 294 , 280 , X)  en  Y2 = 0,85 invoeren in de GR.
INTERSECT levert  X = 9,7  dus   de standaardafwijking is 9,7
15. 37 weken is 259 dagen,  het gemiddelde is 40 weken is 280 dagen.
NORMALCDF(-1E99 , 259 , 280 , 10) = 0,01786... en dat is ongeveer 1,8%
16 Het aantal te vroeg geboren baby's is binomiaal verdeeld met n = 520 en p = 0,018
P(5 < X < 15) = P(X ≤ 14) - P(X ≤ 5) = BINOMCDF(520, 0.018 , 14) - BINOMCDF(520 , 0.018 , 5) =
0,947318... - 0,09348... =  0,85383...  Dus ongeveer  85%
17. Tussen 2020 en 2002 zijn 18 jaren. Noem de beginhoeveelheid 100 (%)
Dan is de eindhoeveelheid  100 • 0,9718 = 57,795...% Dus dat is iets meer dan de helft.
18. De groeifactor is 1 - 0,075 = 0,925
Noem de beginhoeveelheid 100 (%)  Dan is de eindhoeveelheid 10 (%)
10 = 100 • 0,925t  dus  0,925t = 0,1  dus  t  = log(0,1)/log(0,925) = 29,534...
Dat zal dus in het jaar  2032 zijn.
19. Bij x = 7,5 is B ongeveer 25  en 25%  is nog geen zeldzaamheid.
20. 1e opl. Bereken een paar punten van de grafiek. Bijvoorbeeld:
x = 4 geeft groeifactor 0,96 dus B = 0,968 = 0,72
x = 0,5 geeft op dezelfde manier B = 0,96  en x = 7,5 geeft bijvoorbeeld  B = 0,54.
Teken een vloeiende grafiek door deze drie punten.
2e opl. Bij x% afname blijft 100 - x procent over, dus  de groeifactor is   g = 1 - 0,01x
De beginwaarde is 100 (%) dus de eindwaarde is  B = 100 • (1 - 0,01x)8
Deze grafiek is met de GR te plotten. 
WINDOW  bijv.  Xmin = 0 , Xmax = 7,5  ,  Ymin = 0  ,  Ymax = 100
21. Bij een vast vervangingspercentage is er een vaste groeifactor die kleiner is de 1.
Dan gaat het aantal euro's op den duur naar nul (horizontale asymptoot)
Maar dat kan niet: het aantal euro's moest naar een vaste waarde gaan.
Dus het vaste vervangingspercentage kan op den duur niet meer kloppen.