HAVO WA, 2017 - I

 

Akkerranden.
       

Langs akkers zie je tegenwoordig vaak kleurige stroken met bloemen of met gras en kruiden.

Deze stroken worden akkerranden genoemd.

Ze worden aangelegd door boeren die een gedeelte van hun landbouwgrond gebruiken voor natuurbeheer. Akkerranden bieden namelijk leefruimte aan vogels, bijen en vlinders. Ze zijn ook aantrekkelijk voor toeristen.

In de tabel staat aangegeven wat de kosten van een akkerrand per hectare zijn (1 hectare = 10 000 m2).

       

kosten op jaarbasis in euro per hectare akkerrand

  bloemenrand gras-kruidenrand
zaaizaad 400 100
grondbewerking 250 63
zaaien 390 146
onderhoud (o.a. onkruid verwijderen) 475 400
management (o.a. administratie) 150 150
       

Boeren kunnen van de gemeente subsidie krijgen voor het aanleggen van een akkerrand. Voor gemeenten telt vooral de toeristische waarde van een akkerrand, daarom wordt het subsidiebedrag alleen bepaald door de lengte van de akkerrand. Deze lengte wordt uitgedrukt in strekkende meters: 1 strekkende meter betekent dat de lengte 1 meter is, ongeacht de breedte.

In de Hoeksche Waard golden in 2013 de volgende regels:
− De akkerrand dient minimaal 3,5 meter breed te zijn.
− Het subsidiebedrag is € 0,63 per strekkende meter bloemenrand.
− Het subsidiebedrag is € 0,53 per strekkende meter gras-kruidenrand.
− Naast het subsidiebedrag worden de kosten van het zaaizaad en het zaaien vergoed.
− Alle overige kosten zijn voor rekening van de boer.

In deze opgave gaan we ervan uit dat de breedte van een akkerrand altijd 3,5 meter is.

Daan de Geus, een boer in de Hoeksche Waard, legde in 2013 bloemenranden aan over een totale lengte van 2500 meter.

       
4p.

1.

Laat zien dat het subsidiebedrag dat hij ontving hoger was dan het bedrag dat hij kwijt was aan de kosten van grondbewerking, onderhoud en management.

     

 

Hoewel het erop lijkt dat er aan een akkerrand aardig te verdienen valt, zal een boer niet op deze manier rekenen. Op de landbouwgrond waarop hij een akkerrand aanlegt, hadden immers ook gewassen kunnen groeien. De winst daarvan mist de boer. Dit heet winstderving.

Voor de nettowinst W die in 2013 in de Hoeksche Waard gemaakt werd op een gras-kruidenrand met een lengte van 100 meter geldt de formule

W =100 • S − 0,035 • D − 21,455

In deze formule is W de nettowinst per 100 meter gras-kruidenrand, S is het subsidiebedrag per strekkende meter gras-kruidenrand en D is het bedrag aan winstderving per hectare. Alle bedragen zijn in euro.

Bas Nederlof, ook een boer in de Hoeksche Waard, heeft in 2013 een gras-kruidenrand van 2100 meter aangelegd. De winstderving was 500 euro per hectare

       
3p.

2.

Bereken de nettowinst die hij op deze akkerrand gemaakt heeft.
     

 

Boeren leggen het liefst akkerranden aan op slechte landbouwgrond of op grond die lastig te bewerken is. Op goede landbouwgrond is de winst door het telen van een gewas namelijk vaak hoger dan de nettowinst op een akkerrand.
In 2013 leverde een gewas op goede landbouwgrond gemiddeld 1025 euro per hectare winst op. Als een boer op deze grond een akkerrand zou aanleggen, zou de winstderving dus 1025 euro per hectare zijn. Een boer kon daarom in 2013, alleen als hij een hoger subsidiebedrag per strekkende meter kreeg, zonder verlies een akkerrand op goede landbouwgrond aanleggen.

       
4p.

3.

Bereken met behulp van de formule het minimale subsidiebedrag per strekkende meter waarbij een gras-kruidenrand op goede landbouwgrond in 2013 zonder verlies kon worden aangelegd. Geef je antwoord in hele centen.

     

 

In een situatie waarin er geen nettowinst of -verlies gemaakt wordt, dus als W = 0 , kan er uitgaande van de gegeven formule door herleiding een verband opgesteld worden tussen S en D. Dit verband heeft de vorm S = a • D + b , waarbij a en b getallen zijn.

       
3p.

4.

Voer deze herleiding uit en geef daarbij de niet-afgeronde waarden van a en b.

     

  

Onderzoek naar rekenvaardigheid.
       

De OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) publiceerde in oktober 2013 de resultaten van het onderzoek PIAAC (Programme for the International Assessment of Adult Competencies). Dit is een onderzoek naar reken-, taal- en probleemoplossingsvaardigheden in 23 landen onder ruim 5000 16- tot 65-jarigen per land.
Deze opgave gaat alleen over de score op rekenvaardigheid. Deze score heeft een schaal van 0 tot 500.

Voor ieder land is op basis van het onderzoek een schatting gemaakt voor de gemiddelde score van de gehele populatie van 16- tot 65-jarigen. In de volgende figuur zie je deze gemiddelde scores per land. Nederland staat op de vierde plaats.

       

       

Ook voor de deelpopulatie van 16- tot 24-jarigen zijn de gemiddelde scores per land bepaald. Nederland staat hier op de eerste plaats. In onderstaande figuur zie je de gemiddelde scores van de top 6. Zweden behoort niet tot de top 6.

       

       

Als je de figuren 1 en 2 met elkaar vergelijkt, zijn er verschillende conclusies mogelijk. Hieronder staan twee mogelijke conclusies.
1.  In Nederland scoren de 16- tot 24-jarigen gemiddeld hoger dan de 25- tot 65-jarigen.
2.  In Zweden scoren de 16- tot 24-jarigen gemiddeld lager dan de 25- tot 65-jarigen.

       
4p.

5.

Leg bij elk van deze conclusies uit of deze juist is en of deze kan worden getrokken op basis van het vergelijken van de beide figuren.

     

 

In de tabel staan de percentielen van de scores van enkele deelnemende landen. Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat het 75e percentiel van Australi๋ 305,4 is. Dit betekent dat 75% van de Australische deelnemers een score van 305,4 of lager had.

       
land gemiddelde
score
standaard-
afwijking
percentiel
5 10 25 50 75 90 95
Australie 267,6 56,6 169,3 197,7 234,7 271,9 305,4 334,3 351,6
Canada 265,5 55,5 169,2 194,2 230,8 269,8 303,9 332,4 349,3
Finland 282,2 52,5 193,6 217,4 250,8 285,8 317,3 345,0 360,8
Frankrijk 254,2 56,2 152,1 179,7 219,9 259,2 293,9 321,5 336,5
Duitsland 271,7 53,1 179,0 201,9 238,4 275,9 309,3 335,0 350,5
Italie 247,1 50,0 161,1 182,9 215,4 249,3 281,9 309,1 324,1
Japan 288,2 44,0 212,6 231,7 260,7 290,8 318,1 341,7 355,4
Nederland 280,3 51,1 188,6 214,6 251,0 285,8 315,3 339,7 354,2
Spanje 245,8 51,3 149,1 177,8 216,3 250,3 280,9 307,4 322,3
Zweden 279,1 54,9 181,7 209,9 249,2 284,0 316,0 342,8 358,4
USA 252,8 57,0 151,7 177,9 217,1 256,1 293,1 322,7 340,0
alle deel-
nemers van
de 23 landen
268,7 51,3 178,4 202,8 237,9 272,5 303,9 330,3 345,6
       

Een van de onderzoekers concludeert op basis van de laatste regel van de tabel dat de score van alle deelnemers niet normaal verdeeld is.

       
2p.

6.

Geef een mogelijke statistische redenering die deze onderzoeker hiervoor gebruikt kan hebben.

     

 

6p.

7.

Bepaal met behulp van het formuleblad op twee verschillende manieren of het verschil tussen de scores die behaald zijn door de Canadese deelnemers en de scores die behaald zijn door de Spaanse deelnemers groot, middelmatig of gering is.

     

 

Er zijn verschillende manieren om met behulp van de tabel de spreiding van de scores tussen landen te vergelijken.

       
3p.

8.

Kies twee verschillende spreidingsmaten en vergelijk met elk van deze maten de spreiding van de scores in Australi๋ en Spanje.

     

 

In onderstaande figuur zijn de percentielscores van Japan en Nederland in een grafiek weergegeven.

       

       
De grafiek van Japan verschilt van de grafiek van Nederland.
       
3p.

9.

Beredeneer met behulp van de figuur of de spreiding van de scores in Japan groter of kleiner is dan die in Nederland.

     

 

 

Great Barrier Reef.
       

Het Great Barrier Reef voor de kust van Australi๋ is het grootste en bekendste koraalrif ter wereld.
De totale oppervlakte van het rif is 345000 km2. Helaas is in de periode 1985-2012 veel koraal op het rif verdwenen, zo blijkt uit een Australische studie.

In 1985 was nog 97000 km2 van het rif bedekt met koraal. In 2012 was deze oppervlakte afgenomen tot nog slechts 13,8% van het rifoppervlak.

Je kunt berekenen dat de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt was in de periode 1985-2012 met ruim 50% is afgenomen.

       
3p.

10.

Bereken dit percentage in ้้n decimaal nauwkeurig.
     

 

De onderzoekers waarschuwden in 2012 dat er nog meer koraal zou verdwijnen. Zij verwachtten dat als er niet zou worden ingegrepen, de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt is in de periode 2012-2022 opnieuw zou halveren.
Neem aan dat deze afname vanaf 2012 exponentieel zou zijn.

       
4p.

11.

Bereken met hoeveel procent de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt is dan jaarlijks zou afnemen. Geef je antwoord in hele procenten.

     

 

De belangrijkste bedreigingen voor het koraal komen van tropische stormen en de doornenkroon, een grote zeester.
Als er geen doornenkronen zouden zijn en als we aannemen dat de schade door tropische stormen ongeveer gelijk blijft, zou het aantal km2
rif dat met koraal bedekt is met 0,89% per jaar kunnen toenemen.

       
4p.

12.

Bereken hoeveel jaar het dan zou duren totdat het aantal km2 rif dat met koraal bedekt is, voor het eerst weer met 50% zou zijn toegenomen.

     

 

 

Studieschuld.
       

Studeren kost geld. In het verleden gaf de overheid daarom aan de meeste studenten financi๋le ondersteuning in de vorm van een beurs. Studenten met een beurs kregen elke maand een bepaald geldbedrag op hun bankrekening gestort.

Een student die tussen 1996 en 2014 begon met studeren, kreeg de zogenoemde prestatiebeurs, een beurs in de vorm van een lening waarover rente berekend werd. Door het ontvangen van de prestatiebeurs bouwde een student dus een studieschuld op.

Deze studieschuld werd echter kwijtgescholden als de student binnen 10 jaar een diploma haalde. Een student die het diploma niet op tijd haalde of stopte met studeren, moest zijn studieschuld, inclusief alle rente, terugbetalen.

In 2012 bedroeg de prestatiebeurs voor een uitwonende student € 266,23 per maand. Daarover werd elke maand rente berekend, zodanig dat het jaarlijkse rentepercentage 1,39% was.

 
       
4p.

13.

Bereken het maandelijkse rentepercentage in drie decimalen nauwkeurig.
     

 

In deze opgave gaan we ervan uit dat het geldbedrag per maand en het jaarlijkse rentepercentage door de jaren heen niet veranderen.

Andries begon in september 2012 met zijn studie en kon studeren met een prestatiebeurs. Hij kreeg die maand voor de eerste keer € 266,23 op zijn bankrekening gestort.
Om te berekenen hoe hoog zijn studieschuld S in euro in de loop van de tijd was geworden, gebruikte Andries de formule:

S = −231299,46 + 231565,69 • 1,001151t

Hierin is t het aantal maanden na de ontvangst van de eerste storting.

       
4p.

14.

Bereken in welke maand van welk jaar de studieschuld van Andries voor het eerst hoger was dan € 5000,-.

     

 

Als een student binnen 10 jaar geen diploma haalde, moest hij de opgebouwde studieschuld, inclusief rente, terugbetalen. Het was verplicht elke maand een bedrag van minstens € 45,41 terug te betalen. De schuld die dan na elke maandelijkse terugbetaling overbleef, werd de restschuld genoemd. De restschuld werd dus elke maand lager.
In deze bijlage staat een tabel met daarin de restschulden bij een maandelijkse terugbetaling van € 45,41 voor verschillende studieschulden en verschillende maanden na de eerste terugbetaling.

Maaike had een studieschuld. Ze betaalde € 45,41 per maand terug. Ze had er meer dan 11 jaar, maar minder dan 12 jaar voor nodig om de totale studieschuld terug te betalen.

       
2p.

15.

Bepaal met de tabel een mogelijke waarde van haar studieschuld.
     

 

Door omstandigheden moest Andries zijn studie voortijdig afbreken. Hij had toen een studieschuld opgebouwd van €6200,- die hij helemaal moest terugbetalen. Hij begon in september 2014 met het terugbetalen van de verplichte € 45,41 per maand.

       
4p.

16.

Bereken met behulp van lineair interpoleren hoe groot de restschuld van Andries 60 maanden na de eerste terugbetaling is.

     

  

 

Papierformaten.
       

Het bekendste papierformaat is het A4'tje, een vel papier dat in grote delen van de wereld als standaardpapierformaat gebruikt wordt. Het A4’tje komt uit een serie die begint met A0, een vel papier met een oppervlakte van precies 1 m2. Van elk volgend formaat in de A-serie is de oppervlakte telkens tweemaal zo klein. In de praktijk zijn voornamelijk de formaten A0 tot en met A11 in gebruik.
De afmetingen van de eerste vijf formaten staan in de tabel. Hierin zijn de hoogte en breedte afgerond op hele cm.

       
formaat formaat-
nummer
n
oppervlakte
(mm2)
hoogte h
(cm)
breedte b
(cm)
A0 0 1000000 119 84
A1 1 500000 84 59
A2 2 250000 59 42
A3 3 125000 42 30
A4 4 62500 30 21
... ... ... ... ...
       
Een formaat dat vaak gebruikt wordt voor postzegels is het A11-formaat.
       
3p.

17.

Bereken de oppervlakte van een A11-postzegel in hele mm2.
     

 

Voor de hoogte h en voor de breedte b van een vel papier in de A-serie geldt:

h = √2 • b

In de tabel zijn zowel de hoogte als de breedte in hele cm gegeven. Maar met de bovenstaande formule kunnen bij een gegeven oppervlakte de hoogte en de breedte nauwkeuriger berekend worden. Er geldt:

h • b = oppervlakte

De oppervlakte van een vel A6-papier is 15625 mm2.

       
4p.

18.

Bereken met de bovenstaande formules de hoogte en de breedte van een vel A6-papier. Rond je antwoorden af op hele mm.

     

 

In theorie bestaat er een exponentieel verband tussen de hoogte h van een vel papier in de A-serie en het formaatnummer n. Door de afronding van h kunnen er kleine afwijkingen zijn.

       
3p.

19.

Toon met behulp van alle waarden van h uit de tabel aan dat er bij benadering een exponentieel verband bestaat tussen de hoogte h van een vel papier in de A-serie en het formaatnummer n.

     

 

Technisch tekenaars gebruiken papier uit de Z-serie. De hoogte van een vel uit de Z-serie is altijd gelijk aan 30 cm. Een vel Z1-papier, met formaatnummer 1, is gelijk aan een A4’tje.
Bij elk volgend formaat in de Z-serie wordt de breedte telkens met een vast aantal cm vermeerderd. Dit vaste aantal cm is kleiner dan 21 cm en is zo gekozen dat een vel papier uit de Z-serie zigzag gevouwen in een ordner voor A4-papier past. In de figuur is een voorbeeld gegeven van technisch tekenpapier in Z5-formaat. Het vel Z5-papier, met formaatnummer n = 5, heeft een breedte van 93 cm.

       

       
2p.

20.

Bereken de breedte van Z6-papier.
     

 

Je kunt een formule opstellen voor de oppervlakte van een vel papier uit de Z-serie met formaatnummer n.
Deze formule is te schrijven in de vorm O = a • n + b .
Hierin is O de oppervlakte in cm2 en zijn a en b getallen.

       
4p.

21.

Bereken de waarden van a en b.
     

 

Bioscoopbezoek.
       
In de figuur staan gegevens over bioscopen in Nederland in 2012.
       

       

Het staafdiagram geeft het aantal bioscopen per provincie weer (linker verticale as). Het lijndiagram toont het aantal inwoners per bioscoop uitgesplitst per provincie (rechter verticale as).

In de tabel staat per provincie het aantal bioscoopbezoeken in 2012.

       
provincie bezoeken
N-Holland 7532000
Z-Holland 7298000
N-Brabant 4366000
Gelderland 2695000
 
provincie bezoeken
Utrecht 2009000
Overijssel 1663000
Limburg 1662000
Groningen 1180000
 
provincie bezoeken
Friesland 625000
Flevoland 525000
Drenthe 519000
Zeeland 486000
       

Kees beweert: “In de provincie met de meeste bioscopen per inwoner is het gemiddeld aantal bioscoopbezoeken per inwoner meer dan 2.”

       
7p.

22.

Onderzoek over welke provincie Kees het heeft en bereken voor deze provincie of hij gelijk heeft.

     

 

 

UITWERKING
   
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Voor 2500 m bloemenrand krijg je 2500 • 0,63 = 1575 subsidie.
kosten:  250 + 475 + 150 = 875  (de andere twee worden vergoed) per hectare.
De oppervlakte is 2500 • 3,5 = 8750m2  = 0,875 hectare
De kosten zijn dus 875 • 0,875 = 765,625
Het subsidiebedrag is dus hoger.
   
2. W =100 • S − 0,035 • D − 21,455
= 100 • 0,53 - 0,035 • 500 - 21,455 = 14,045 voor elke 100 m
2100 m geeft dus winst 21 • 14,045 =
294,95
   
3. D = 1025  dus  100S - 0,035 • 1025 - 21,455 = 0
100S - 57,33 = 0
100S = 57,33
S = 0,5733
Dus S moet
minimaal 58 cent per strekkende meter zijn.
   
4. 100 • S − 0,035 • D − 21,455 = 0
100S = 0,035 • D + 21,455
S = 0,00035D + 0,21455
Dus
a = 0,00035  en  b = 0,21455
   
5. 1.  De gemiddelde score van de hele populatie in Nederland in ongeveer 280, terwijl de gemiddelde score van de 16-24 jarigen meer dan 285 is. Om op een gemiddelde van 280 te komen moet de gemiddelde score van de rest (25-65) dus wel lager dan 280- zijn, dus ook lager dan de score van de 16-24 jarigen. Conclusie 1 is juist.

2.  De score van de 16-24 in Zweden is lager dan 279, terwijl de gehele populatie een gemiddelde van 280 heeft. Dus de 25-65 jarigen moeten wel een gemiddelde score van meer dan 280 hebben dus hoger dan de 16-24 jarigen.
Conclusie 2 is juist. 
   
6. 50%:  bij 272,5 en dat is niet gelijk aan het gemiddelde 268,7 en dat is bij een normale verdeling wel zo.
   
7. Effectgrootte (formuleblad):  E = (265,5 - 245,8)/0,5(55,5 + 51,3) = 0,37
Dat is dus een gering verschil.
   
  De mediaan van Canada  (269,8) ligt in de box van Spanje (216,3 - 180,9) en de mediaan van Spanje (250,3)ligt in de box van Canada (230,8 - 303,9).
Dat is een gering verschil.
   
8. Standaardafwijking: 
Australie  56,6 en  Spanje 51,3 dus de spreiding van Autralie is groter.

Kwartielafstand:
Australie:  305,4 - 234,7 = 70,7  en  Spanje 280,9 - 216,3 = 64,6  dus de spreiding van Australie is groter.
   
9. De waarden van Japan liggen i.h.a. dichter bij het midden. Dat kun je vooral duidelijk zien aan de uiterste waarden.  dus is de spreiding van Japan kleiner.
   
10. 13,8% is 0,138 • 345000 = 47610 km2
47610/97000 • 100% = 49,08%  is nog over.
Dus de afname is
50,9% geweest.
   
11. In 10 jaar halveren betekent  g10 = 0,5
Dan is  g = 0,51/10 = 0,933
Dat is een afname van
7%
   
12. Een toename van 0,89%  betekent g = 1,0089
50% toenemen betekent dat 1,0089t = 1,5
Y1 = 1,0089^X
Y2 = 1,5
Intersect geeft  X = t = 45,76
Na
46 jaar is het voor het eerst weer met 50% toegenomen.
   
13. Een rentepercentage van 1,39% betekent een factor 1,0139 per jaar.
Dat is gelijk aan g12
g12 = 1,0139  geeft  g = 1,01391/12 = 1,00115
Dat is een percentage van
0,115% per maand.
   
14. Y1  = −231299,46 + 231565,69 • 1,001151^X
Y2 = 5000
intersect geeft  X = t
= 18
Dat is in
maart 2004
   
15. Na 11 jaar (132 maanden) is er nog studieschuld over, na 12 jaar (144 maanden) is de studieschuld 0
In de tabel is dat de kolom met oorspronkelijke schuld
6000 euro
   
16. Na 60 maanden is er bij 6000 euro een restschuld van 3561
Na 60 maanden is er bij 6500 euro een restschuld van 4097
De toename is 536  over 500 euro, dat is per euro een toename van 1,072
6200 is 200 euro meer dan 6000, dus een toename van 200 • 1,072 = 214,4
Dat wordt dan 3561 + 214,4 =
3775,4 euro.
   
17. De oppervlakte wordt steeds gehalveerd.
62500 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5 • 0,5  = 488,28  dus ongeveer
488 mm2
   
18. h • b = 15625
vervang h door √2 • b  dan geeft dat  √2 •b • b = 15625
b2 = 15625/√2 = 11048,54
b = √11048,54 = 105,112  = 
105 mm
dan is  h = √2 • 105,112 =
149 mm
   
19. De factoren zijn 84/119 = 0,7  en  59/84 = 0,7 en 42/59 = 0,7  en 30/42 = 0,7
Dat is allemaal (ongeveer) gelijk dus er bestaat bij benadering een exponentieel verband.
   
20. 4 extra stroken geven een toename van 93 - 21 = 72 cm dus per strook is dat 18 cm.
Z6 heeft dan breedte  93 + 18 =
111 cm.
   
21. breedte:  b = 3 + 18n   (vanaf 3 cm is er n keer 18 bijgekomen)
hoogte:  30
Oppervlakte:   30(3 + 18n) = 90 + 540n
Dus
a = 540 en b = 90
   
22. De bioscopen per inwoner zijn het grootst,  als de inwoners per bioscoop het kleinst zijn.
Het gaat dus om de provincie Groningen.

aantal inwoners is:   aantal inwoners per bioscoop • aantal bioscopen
voor Groningen is dat ongeveer (aflezen)  50000 • 11 = 550000

er waren (tabel) 1180000 bezoeken dus per inwoner zijn dat 1180000/550000 =
2,15 bezoeken.
Kees heeft gelijk.