In elk huishouden is wel een aantal huishoudelijke apparaten te vinden. Uit een onderzoek van het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) in 2003 blijkt dat het bezit van bijvoorbeeld magnetronovens, wasdrogers en vaatwasmachines sterk toenam in de periode 1986–2001. Zie de volgende figuur.

Op grond van de grafiek kun je concluderen dat er op 1 januari 1998 huishoudens waren die zowel een magnetronoven als een wasdroger bezaten.

1.

W = a • t + 14,4

Hierin is W het relatieve bezit van wasdrogers en t de tijd in jaren, waarbij t = 0 overeenkomt met 1 januari 1986.

2.

Uit het onderzoek blijkt verder dat het relatieve bezit van vaatwasmachines op 1 januari 1986 8,0% was en op 1 januari 2001 41,6%. We gaan ervan uit dat de groei exponentieel verliep.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de jaarlijkse groeifactor die hoort bij het relatieve bezit van vaatwasmachines gelijk is aan (ongeveer) 1,116.

3.

V = 8,0 • 1,116^t

W = 2,67 •  t + 14,4  en   V = 8,0 • 1,116^t

4.

Bereken met behulp van de twee formules in welk jaar het relatieve bezit van wasdrogers en vaatwasmachines even groot is.

H = 69,8 • t + 5790

In deze formule is H dus het aantal huishoudens in duizendtallen en t in jaren met t = 0 op 1 januari 1986.
Gebruikmakend van de formule voor H kunnen we een formule opstellen voor het aantal koelkasten K (in duizendtallen), uitgedrukt in t. Deze formule is te herleiden tot K  = a • t + b .

5.

Als een nieuw product wordt geïntroduceerd, wordt het meestal niet meteen massaal gekocht.
In de volgende figuur is weergegeven hoe de aanschaf van een nieuw product globaal verloopt. Langs de horizontale as staat het zogenoemde aanschafmoment, uitgedrukt in maanden na de introductie van het product op de markt. Het aanschafmoment van een product is het tijdstip waarop het product voor de eerste keer wordt aangeschaft.

Voor het product uit deze figuur geldt dat het aanschafmoment gemiddeld 74 maanden is met een standaardafwijking van 18 maanden.

6.

Toon aan dat voor minder dan 1% van de huishoudens het aanschafmoment 24 maanden of minder is.

In 2001 introduceerden Douwe Egberts en Philips samen een nieuw koffiezetapparaat, de Senseo. We gaan ervan uit dat de aanschaf van deze Senseoapparaten in Nederland op een soortgelijke manier verloopt als hierboven is beschreven. Het aanschafmoment van dit apparaat is dus bij benadering normaal verdeeld.
In een artikel staat dat 52 maanden na de introductie van het Senseo-apparaat 45% van de huishoudens in Nederland zo’n apparaat voor de eerste keer heeft aangeschaft.
Na 54 maanden is dat zelfs 50%.

7.

Toon aan dat de standaardafwijking van het aanschafmoment ongeveer 16 maanden is.

Het meest succesvolle jaar was het 5^e jaar na introductie van het apparaat. Toen schafte maar liefst (ongeveer) 29% van de Nederlandse huishoudens voor het eerst een Senseo-apparaat aan.

8.

In totaal werden willekeurig 50 huishoudens benaderd.

9.

Bereken de kans dat minstens 10 van die huishoudens in het voorafgaande jaar voor het eerst een Senseo-apparaat hebben aangeschaft.

Wanneer je klassenfoto’s goed bekijkt, zie je dat er bijna altijd iemand op staat met de ogen dicht. Dit komt doordat het knipperen met de ogen niet bewust gebeurt en het dus ook nauwelijks onderdrukt kan worden.

We nemen in deze opgave het volgende aan:
- iedereen knippert gemiddeld 10 keer per minuut met zijn ogen;
- elke knippering duurt 0,25 seconden;
- elke knippering treedt op een willekeurig moment op.

10.

Ga met een berekening na dat iedereen ¹/₂₄ deel van de tijd zijn ogen dicht heeft.

Van een klas met 25 leerlingen wordt een klassenfoto gemaakt.

11.

Ga met een berekening na dat de kans dat de foto lukt ongeveer gelijk is aan 0,345.

De fotograaf vindt 34,5% kans op een geslaagde klassenfoto met 25 leerlingen te klein en maakt daarom meteen een serie van 5 foto’s.

12.

Hierin is m het aantal mensen dat op de foto gaat en n het aantal foto’s dat er gemaakt moet worden.

13.

Toon aan dat voor een groep van 50 mensen deze vergelijking te schrijven is als 1 - 0,881ⁿ = 0,99.

Twee examenklassen gaan een dagje naar Parijs. Bij aankomst wordt er eerst een groepsfoto van de 50 leerlingen gemaakt.

14.

Bereken het aantal foto’s dat er gemaakt moet worden om minstens 99% zekerheid te hebben op minstens één gelukte groepsfoto.

Bij een groep van 18 geeft de vuistregel een aantal dat lager is dan het aantal volgens de vergelijking.

15.

Onderzoek hoeveel foto’s meer er volgens de vergelijking moeten worden gemaakt dan volgens de vuistregel.

Van een aantal beuken is het verband tussen de hoogte en de diameter onderzocht. In onderstaande figuur zijn de gegevens van deze beuken met punten weergegeven.
Je zou misschien verwachten dat hoe dikker de boom, hoe hoger de boom. Uit het onderzoek blijkt dat dit niet het geval is. Vanaf een bepaalde diameter neemt de hoogte van de boom weer af.

h = -0,0043 • d²  +  0,662 • d + 6,51

Het maximum of minimum van een kwadratisch verband van de algemene vorm   y = a • x² + b • x +  c bevindt zich bij x =  ^-b/_{(2 • a)}

16.

Voor het onderzoek werd het Rodebos in kleine vakken van elk 1 hectare (ha) opgedeeld. In elk vak werd het aantal bomen geteld en de gemiddelde diameter van die bomen berekend.
In onderstaande tabel staan de resultaten van het onderzoek.

N = c • G^-1,62

Hierin is N het aantal bomen per ha, G de gemiddelde diameter in cm en c een constante.

17.

N = 290000 • G^-1,59

Ook hier is N het aantal bomen per ha en G de gemiddelde diameter in cm.
Dit bos heeft een oppervlakte van 4 ha. Er staan 12944 bomen gelijkmatig verdeeld in dit bos.

18.

Bereken met behulp van dit verband de gemiddelde diameter van die bomen.

Bingo is een populair spelletje: het wordt vaak gespeeld op campings, in sportkantines en in verzorgingstehuizen.
Bij bingo hebben alle spelers een bingokaart. Deze kaarten zijn er in vele soorten; in deze opgave gebruiken we de kaartsoort die in de volgende figuur staat.

In elke kolom staat een aantal getallen in een willekeurige volgorde, waarbij geen enkel getal meer dan één keer voorkomt. Verder geldt het volgende:
- onder de B staan 5 getallen uit 1 t/m 15;
- onder de I staan 5 getallen uit 16 t/m 30;
- onder de N staan 4 getallen uit 31 t/m 45 (en een leeg vakje in het midden);
- onder de G staan 5 getallen uit 46 t/m 60;
- onder de O staan 5 getallen uit 61 t/m 75.

In de figuur staat onder de B de kolom 1-9-6-13-7. Andere kolommogelijkheden zijn bijvoorbeeld: 4-1-12-7-3 of 13-7-6-1-9. Een andere volgorde van de getallen betekent dus een andere kolommogelijkheid.

19.

Bij bingo wordt er door een spelleider steeds een willekeurig balletje getrokken uit een bak die bij aanvang van het spel 75 balletjes bevat, genummerd van 1 tot en met 75. De spelleider leest steeds het getal op het getrokken balletje hardop voor en legt het balletje weg.
Als het voorgelezen getal op zijn bingokaart voorkomt, zet de speler een kruis door dat getal. Iemand heeft bingo als alle getallen op zijn bingokaart zijn doorgekruist.

Wiskundigen hebben voor een willekeurige bingokaart bij dit bingospel een aantal kansformules opgesteld, waaronder:

Frédérique weet dat er vaak heel veel trekkingen nodig zijn voordat haar kaart vol is. De kans dat zij pas bij de laatste trekking bingo heeft, is zelfs behoorlijk groot.

20.

Het gebeurt heel vaak dat Frédérique na 65 trekkingen nog steeds geen bingo heeft. De kans daarop is ruim 98%.

21.

Onlangs had Frédérique een excursieweek. Tijdens de heenreis speelde men in de bus enkele malen bingo. Ook toen viel het haar op: zelfs met 40 spelers die elk één kaart hebben, zijn er erg veel trekkingen nodig voordat er een keer bingo valt.
Natuurlijk wist Frédérique (zie de vorige vraag) dat de kans op nog steeds geen bingo na 65 trekkingen bij één speler 0,98 is. Ze had echter verwacht dat er met 40 spelers toch in heel veel gevallen wel bij 65 trekkingen of eerder bingo zou vallen.

22.

Bereken de kans dat twee of meer van deze 40 spelers na 65 trekkingen bingo hebben.