HAVO WA, 2010 - I
 

 

Een Tenniswedstrijd
     
De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007 ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die wedstrijden won hij.

Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtsverschil als Federer en Gonzalez tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94. We bekijken 10 van dergelijke wedstrijden.
       
3p. 1. Bereken de kans dat de sterkste speler in die 10 wedstrijden 10 keer van de andere speler wint.
       
Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen.
       
   
Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een punt.
De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen, heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service ้้nmaal overdoen. Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar de tegenstander.
       
Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is een gedeelte daarvan opgenomen.
       
   
  Federer Gonzalez
Totaal aantal servicebeurten 86 127
Aantal eerste services gelukt 50 77
Wint punt nadat eerste service gelukt is 82% 69%
Aantal tweede services gelukt 35 47
Wint punt nadat tweede service gelukt is 80 49%
       
We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond.
       

       
4p. 2. Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit de tabel.
     

 
3p. 3. Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert.
     

 
Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken van de eerste service.
       
4p. 4. Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt
     

 
Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een schema af te leiden.
       
6p. 5. Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de servicebeurt van Gonzalez.
     

 
China's defensie-uitgaven
       
China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In onderstaande figuur staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.
       

       
In deze figuur is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999 (nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan.
       
3p. 6. Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.
     

 
Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005.
       
4p. 7. Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in ้้n decimaal nauwkeurig.
     

 
In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%.
       
5p. 8. Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.
     

 
Volgens de Chinezen zelf valt het allemaal wel mee. Ze geven toe dat hun defensie-uitgaven jaarlijks stijgen: van 8 miljard dollar in 1994 tot 29 miljard dollar in 2005. Maar zij wijzen erop dat de defensie-uitgaven als percentage van het bruto nationaal product, het bnp, sinds 1994 vrijwel steeds gedaald zijn. Zie onderstaande figuur.
       

       
Dat een stijging van de defensie-uitgaven toch als een daling kan worden gepresenteerd, komt doordat de economie in China razendsnel groeit en het bnp dus ook.

Met behulp van bovenstaande gegevens en de figuur hierboven is voor 1994 en 2005 het bnp van China te berekenen.
       
5p. 9. Bereken met hoeveel procent het bnp van China in 2005 gestegen is ten opzichte van 1994.
     

 
Gastransport.
       
In ons land wordt heel veel aardgas verbruikt, onder andere voor het verwarmen van huizen en andere gebouwen.
Bij koud weer wordt er meer gas verbruikt dan bij warm weer. Als het zeer koud is, kan het voorkomen dat er zoveel gas wordt gevraagd, dat het gasleidingnetwerk die hoeveelheid niet meer kan transporteren doordat de leidingen niet voldoende groot zijn. De maximale capaciteit van het netwerk is dan bereikt; er kan niet voldoende gas worden geleverd.
       

       
Een gasleverancier heeft onderzocht hoe de hoeveelheid te leveren gas afhangt van de buitentemperatuur.
Uit dat onderzoek blijkt dat er altijd een vaste hoeveelheid gas gebruikt wordt voor koken, douchen en dergelijke. Deze constante hoeveelheid is 5,5% van de maximale capaciteit van het netwerk (het constante deel). De hoeveelheid gas die wordt gebruikt voor het verwarmen van huizen en andere gebouwen, is afhankelijk van de buitentemperatuur (het temperatuurafhankelijke deel).
In deze opgave bekijken we het percentage van de maximale capaciteit van het netwerk dat gebruikt wordt voor het gastransport. Dit percentage P wordt gegeven door de volgende formule. Hierin is T de buitentemperatuur in ฐC.
       

       
De formule is niet meer bruikbaar boven een bepaalde buitentemperatuur, omdat het percentage altijd minstens 5,5 is.
       
3p. 10. Bereken deze buitentemperatuur.
     

 
De formule is ook niet bruikbaar voor lagere temperaturen dan T = –12 ฐC.
       
3p. 11. Toon dit met behulp van de formule aan.
     

 
De gasleverancier komt dus in de problemen op dagen dat de buitentemperatuur lager is dan –12 ฐC.
Volgens het KNMI gebeurt dat niet vaak. Zij hebben elk jaar op alle 90 dagen van de winterperiode de temperatuur gemeten. Uit hun gegevens blijkt dat in de afgelopen 100 jaar in totaal op slechts 21 dagen de buitentemperatuur lager was
dan –12 ฐC.
Hiermee kunnen we de kans schatten dat op een willekeurige dag in de winterperiode de buitentemperatuur lager is dan –12 ฐC.
       
2p. 12. Schat deze kans door middel van een berekening.
       
De formule voor P kun je herleiden tot de bekende vorm:    P = a • T + b
       
3p. 13. Bereken a en b.

 
       
Kogelwerende vesten
       
Militairen en leden van arrestatieteams dragen soms kogelwerende vesten. Deze vesten moeten zo goed mogelijk kogels opvangen zonder dat de drager verwondingen oploopt, maar ze mogen niet zo zwaar en stug zijn dat de drager daardoor belemmerd wordt in zijn bewegingen. Deze vesten worden gemaakt van kunststoffen.

Om kogelwerende vesten van een bepaalde kunststof te testen, worden er kogels op afgevuurd met verschillende snelheden. Men kijkt of de kogel door het vest is gedrongen. De testresultaten zijn verwerkt in de figuur.
       

       
In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat van de kogels met een afvuursnelheid van 450 m/s er 80% door het vest heen gaan. Je kunt ook zeggen: “Wanneer een kogel afgevuurd wordt met een snelheid van 450 m/s is de kans 0,8 dat die door het vest heen gaat.”

Een arrestatieteam overweegt de aanschaf van deze vesten. In een test worden series van vijf schoten op een vest afgevuurd. De afvuursnelheid van de kogels is 420 m/s.

De kans dat er in een serie van vijf schoten geen enkele kogel door het vest dringt, is ongeveer 0,17.
       
4p. 14. Toon dat met een berekening aan.
     

 
In elke serie is de kans dus 0,17 dat er geen enkele kogel door het vest dringt. De test bestaat uit acht series.
       
3p. 15. Bereken de kans dat er in drie van de acht series geen enkele kogel door het vest dringt.
     

 
Om verschillende typen kogelwerende vesten te vergelijken, kijkt men naar de V50. Dit is de afvuursnelheid van kogels waarbij 50% van de kogels door het vest heen dringt.
       
2p. 16. Is een vest met een hogere V50 beter of slechter? Licht je antwoord toe.
       
Bij het testen van de kogelwerende vesten gebruikt men een speciaal hiervoor ontwikkeld vuurwapen, waarbij men de afvuursnelheid kan instellen.

Als men de afvuursnelheid instelt op 350 m/s dan blijkt de werkelijke afvuursnelheid van de kogels bij benadering normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van 350 m/s en een standaardafwijking van 5,8 m/s.
       
3p. 17. Bereken hoeveel procent van de kogels bij deze instelling een afvuursnelheid heeft van meer dan 360 m/s.
     

 
Naarmate de afvuursnelheid hoger wordt ingesteld, blijkt de spreiding van de werkelijke afvuursnelheid van de kogels groter te worden. Bij het instellen van een afvuursnelheid van 490 m/s is de werkelijke afvuursnelheid van de kogels bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 490 m/s. Verder heeft 90% van de kogels een afvuursnelheid tussen de 480 en 500 m/s.
       
4p. 18. Bereken de standaardafwijking van de afvuursnelheid bij deze instelling. Geef je antwoord in ้้n decimaal nauwkeurig.
     

 
Brandstofverbruik.
       
Vliegen kost veel brandstof. Een flink deel van de totale kosten van een vlucht bestaat uit brandstofkosten. Voor vliegmaatschappijen is het dus interessant om zuinige vliegtuigen te gebruiken.
Om het brandstofverbruik van verschillende typen vliegtuigen te kunnen vergelijken, kijkt men naar het brandstofverbruik per kilometer per passagier. Men gaat er daarbij van uit dat alle plaatsen (stoelen) in het vliegtuig bezet zijn.
Dit brandstofverbruik per kilometer per passagier wordt brandstofverbruik per skm (stoelkilometer) genoemd en wordt uitgedrukt in gram.

Een vliegtuig met 210 stoelen heeft voor een vlucht van 4500 km 26325 kg brandstof verbruikt.
       
3p. 19. Ga met een berekening na dat het brandstofverbruik per skm voor dit vliegtuig tijdens deze vlucht bijna 28 gram is.
       
Ook kan men brandstof besparen door zo weinig mogelijk brandstof voor de vlucht mee te nemen. Als bij een vliegtuig de brandstoftanks helemaal vol zijn, gebruikt het vliegtuig veel meer brandstof dan wanneer de tanks halfvol zijn. Het vliegtuig is dan immers veel zwaarder. Een vliegtuig neemt dan ook altijd precies de hoeveelheid brandstof mee die
voldoende is voor de lengte van de vlucht.

In de figuur is voor een bepaald type vliegtuig het brandstofverbruik per skm uitgezet tegen de vluchtlengte in km.
       

       
In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het type vliegtuig uit de figuur.
Dit type heeft 524 stoelen aan boord.

Het vliegtuig begint aan een vlucht van 9000 km.
       
4p. 20. Bereken hoeveel kg brandstof dit vliegtuig meeneemt voor deze vlucht.
     

 
Wanneer er mogelijkheden zijn voor een tussenlanding kan dat voordelig zijn, want voor kortere vluchten is het brandstofverbruik per skm lager doordat er minder brandstof meegenomen hoeft te worden.
Bij de vlucht van 9000 km zou bijvoorbeeld na elke 3000 km een tussenlanding gemaakt kunnen worden. Als de vliegmaatschappij daartoe besluit, hoeft het vliegtuig bij elk vertrek maar voor 3000 km aan brandstof mee te nemen.
       
4p. 21. Bereken hoeveel procent het vliegtuig op deze manier aan brandstof per skm kan besparen.
     

 
Voor het vliegtuig kan het verband tussen het brandstofverbruik en de vluchtlengte worden uitgedrukt in de volgende formule:
       

       
Hierin is B het brandstofverbruik per skm in gram en L de vluchtlengte in km.
       
4p. 22. Bereken met de formule voor welke vluchtlengtes het brandstofverbruik per skm 38 gram is.
     

 
Een vliegmaatschappij die veel lange afstanden vliegt met dit type vliegtuig, wil natuurlijk weten hoe groot de optimale vluchtlengte is. De optimale vluchtlengte is de vluchtlengte waarbij het brandstofverbruik per skm minimaal is.
       
3p. 23. Onderzoek met de GR hoe groot de optimale vluchtlengte is.
     

 

 

UITWERKING
   
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Bij ้้n keer winnen is de kans P = 0,94
WWWWWWWWWW heeft dan kans  0,94 • 0,94 • 0,94 • .... = 0,9410 = 0,54
   
2. Van de 86 beurten zijn er 50 gelukt, dus 36 mislukt
De kans op mislukken is daarom  36/86 = 0,42

Van de 36 tweede services (zoveel eerste waren mislukt) zijn er 35 gelukt
De kans op lukken is daarom  35/36 = 0,97
   
3. Hij kan op twee manieren winnen:

1.   eerste service lukt  -  punt Federer. 
      Deze tak van de boom heeft kans  0,58 • 0,82 = 0,4756

2.   eerste service mislukt  -  twee service lukt  -  punt Federer.
      Deze tak van de boom heeft kans 0,42 • 0,97 • 0,80 = 0,32592.

De totale kans is dan  0,4756 + 0,32592 = 0,80152  dus ongeveer 0,80
   
4. Het aantal mislukte services is binomiaal verdeeld.
n = aantal experimenten (services) = 9
p = kans op succes (foute service) per keer = 0,42
gevraagd wordt de kans op meer dan 4 successen, dus  P(X > 4)
dat is gelijk aan 1 - P(X ≤ 4) en dat is  1 - binomcdf(9, 0.42, 4) = 0,31.
   
5. Gonzalez heeft 127 keer geserveerd waarvan 77 keer de eerste service goed.
dus P(eerste service goed) = 77/127 = 0,61  en  P(eerste service fout) = 1 - 0,61 = 0,39

Hij heeft 127 - 77 = 50 keer een tweede service gehad, waarvan 47 keer goed.
dus P(tweede service goed) = 47/50 = 0,94  en  P(tweede service fout) = 1 - 0,94 = 0,06

De kans op een punt na de eerste service goed is 69%, dus op geen punt  31%
De kans op een punt na de tweede service goed is 49%, dus op geen punt  51%
Dat geeft de volgende kansboom (bij de takken staat hetzelfde als bij Federer uit het voorbeeld):
 

  Als Federer het punt wint, zijn dat de takken waarbij Gonzalez niet wint. Dat zijn de drie rode takken.
De totale kans is dan  0,61 • 0,31 + 0,39 • 0,94 • 0,51 + 0,39 • 0,06 = 0,40
   
6. De toename is 56 - 37 = 19 miljard in 5 jaar.
dat is  19/5 = 3,8 miljard per jaar.
Van 1999 tot 2003 is 4 jaar dus in het zelfde tempo zou dat 4 • 3,8 = 15,2 miljard dollar toename zijn
In 2003 zou het dan  56 + 15,2 = 71,2 miljard dollar zijn.
   
7. Van 65 naar 93 is een groeifactor  93/65 = 1,4308
Dat is in een periode van 4 jaar.
Als de groeifactor per jaar g is, geldt dus  g4 = 1,4308  dus  g = 1,43081/4 = 1,094
Dat is een percentage van 9,4%
   
8. Maak formules voor de hoge en de lage schatting met t = 0 in 2005.
Die formules zijn exponentieel dus van de vorm  y = B • gt
Hoge schatting  H(t) = 93 • 1,095t
Lage schatting  L(t) = 65 • 1,085t
Het verschil daartussen is  H - L =   93 • 1,095t - 65 • 1,085t
Wanner is dit 50?
Plot Y1 = 93 • 1,095t - 65 • 1,085t   en  Y2 = 50
Intersect geeft  t = 6  dus dat is in 2011
   
9. uit de figuur:  in 1994:  9,4%  en in 2005: 7,2%
8 miljard dollar is 9,4% van het bnp in 1994, dus is het bnp:  8/9,4 • 100 = 85 miljard.
29 miljard dollar is 7,2% van het bnp in 2005, dus is het bnp:  29/7,2 • 100 = 403 miljard
De toename is dan  403 - 85 = 318 miljard.
Dat is  318/85 • 100% = 374% toename.
   
10. P = 5,5 geeft  5,5 + (18 - T)/30 • 94,5 = 5,5
twee manieren:

1.  met de GR:  voer in  Y1 = 5,5 + (18 - X)/30*94,5  en  Y2 = 5,5
     intersect levert  T = 18บC

2.  algebra๏sch:  5,5 + (18 - T)/30 • 94,5 = 5,5
     (18 - T)/30 • 94,5 = 0
     (18 - T)/30 = 0
     (18 - T) = 0
      T = 18บC
   
11. Vul in T = -12
Dat geeft  P = 5,5 + 30/30 • 94,5 = 5,5 + 94,5 = 100%
Dat is de maximale capaciteit.
(en  T > -12 geeft nog geen 100%)
   
12. 100 jaar met elk 90 winterdagen is in totaal 100 • 90 = 9000 winterdagen.
Op 21 dagen was de temperatuur lager, dus de kans is 21/9000 = 0,002
   
13.
  =  5,5 + 3,15 • 18 - 3,15 • T  =  5,5 + 56,7 - 3,15 • T = 62,2 - 3,15 • T
dus is  a = -3,15  en  b = 62,2
   
14. De kans dat ้้n kogel wel doordringt is 0,30  (aflezen), dus de kans dat hij niet doordringt is 0,70.
NNNNN heeft dan kans  0,70 • 0,70 • 0,70 • 0,70 • 0,70 = 0,705 = 0,17.
   
15. het aantal series waarin geen enkele kogel doordringt is binomiaal verdeeld.
het aantal experimenten is n = 8
de kans op succes (geen ้้n doordringen) per serie is  p = 0,17
de kans op drie successen is dan   binompdf(8, 0.17,3) = 0,11

of:
Noem J een serie waar geen enkele kogel doordringt en N een serie waarbij wel een kogel doordringt.
้้n mogelijkheid is dan  JJJNNNNN
De kans daarop is  0,17 • 0,17 • 0,17 • 0,83 • 0,83 • 0,83 • 0,83 • 0,83 = 0,001935
Er zijn  8 nCr 3 = 56 zulke mogelijkheden, dus de kans is  56 • 0,001935 = 0,11
   
16. Als V hoger wordt laat het vest dus pas kogels met hogere snelheid door, dus is het vest beter.
   
17. normalcdf(360,  100000...., 350, 5.8) = 0,0423
dat is dus 4,23%
   
18. normalcdf(480, 500, 490, X) = 0,90
voer in de GR in:  Y1 = normalcdf(480, 500, 490, X)  en  Y2 = 0,90
intersect geeft  X = stabdaarddeviatie = 6,1
   
19. 26325 kg is  26325000 gram
26325/(210 • 4500) = 27,86 gram dus inderdaad bijna 28 gram.
   
20. Aflezen bij 9000 km:  het vliegtuig verbruikt 36 gram per persoon per km.
De afstand is 9000 km, dus dat is 9000 • 36 = 324000 gram per persoon.
Er zijn 524 personen dus dat is 524 • 324000 = 169776000 gram
dat is 169776 kg.
(maar ik neem aan dat het vliegtuig voor de zekerheid wel iets meer zal meenemen...)
   
21. Aflezen bij 3000 km:  33 gram per persoon per km.
Dat kost dus  33 • 3000 • 524 = 51876000
Dat moet drie keer:  3 • 51876000 = 155628000 gram = 155628 kg.
De besparing is  169776 - 155628 = 14148 kg
Dat is  14148/169776 • 100% = 8%
(opm: het percentage hangt nogal af van het aflezen van de 33 gram...)
   
22.

twee manieren:

1.  Voer in de GR in:  Y1 = (0,001X^2+25X+16500)/X  en   Y2 = 38
     intersect levert  X = L = 1426 km  of  L = 11574 km.

2.  0,001L2 + 25L + 16500 = 38L
     0,001L2 - 13L + 16500 = 0
     gebruik de ABC-formule met a = 0,001 en b = -13 en c = 16500
     dat geeft dezelfde antwoorden als bij methode 1.
   
23. Zoek het minimum van de grafiek van B(L)
Voer in de GR in:  Y1 = (0,001X^2+25X+16500)/X
gebruik  calc - minimum om het minimum te vinden.
Dat geeft  een minimum bij L = 4062 km en dat is dus de optimale vluchtlengte.