HAVO WA, 1991 - I

 

OPGAVE 1. Troebeling en doorzicht.
       
De kwaliteit van het water in recreatieplassen wordt regelmatig gecontroleerd. Als er veel zwemmers zijn wordt het water na verloop van tijd troebel.
De troebeling wordt gemeten in een zekere eenheid, genaamd FTE.
Er bestaat een verband tussen de troebeling en het doorzicht (hoe diep je nog kunt zien). Dat verband is grafisch weergegeven in de volgende figuur; daarbij is het doorzicht uitgedrukt in meters.
       

       
De troebeling neemt toe van 15 FTE tot 20 FTE
       
1. Hoeveel cm neemt het doorzicht af? Geef in bovenstaande grafiek aan hoe je aan je antwoord bent gekomen.
       
2. Horen bij toenamen van de troebeling die aan elkaar gelijk zijn, ook afnamen van het doorzicht die aan elkaar gelijk zijn? Licht je antwoord toe.
       
Op zekere dag is het doorzicht ieder uur gemeten. Zie de volgende grafiek.
       

       
3. Hoeveel FTE is de troebeling om 18.00 uur? Geef in bovenstaande grafieken aan hoe je aan je antwoord bent gekomen.
       
4. Op welk uur van de dag bereikt de troebeling de hoogste waarde? Licht je antwoord toe.
       
OPGAVE 2. Ureumgehalte.
         

         
De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine.
Metingen hebben aangetoond dat bij 1000 bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met 500 g toeneemt.
Om te voorkomen dat er teveel ureum in het water komt moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van 2 g ureum per m3 water niet overschreden wordt.

In een model gaan we er van uit dat dagelijks 1000 bezoekers een bad van 1000 m3 bezoeken en dat de verversing van het water 's nachts plaatsvindt. Voor verversing rekent men 30 liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat 's nachts 30 m3 water ververst wordt (dus 3% van het totaal).

We beginnen de eerste dag met 0 g ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er 500 g ureum in het water. Na het verversen is er dan aan het begin van de tweede dag 485 g ureum over.
         
5. Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim 955 g ureum in  het water zit.
         
6. In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.
         
Het blijkt dat 30 liter per dag verversen niet voldoende is. In plaats van 30 liter wordt daarom 200 liter genomen.
Stel U is de hoeveelheid ureum aan het begin van een zekere dag.
         
7. Toon aan dat de hoeveelheid ureum aan het begin van de daaropvolgende dag gelijk is aan 0,8 • U + 400.
         
We starten in het model weer met 0 g ureum aan het begin van de eerste dag.
De hoeveelheid ureum in  gram (Un) aan het begin van de n-de dag kan rechtstreeks berekend worden met de volgende formule:   Un = 2000 - 2500 • (0,8)n
         
8. Leg met behulp van deze formule uit dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm wordt voldaan.
         
In de loop van de dag kan de wettelijke norm wél worden overschreden.
         
9. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.
         

 

OPGAVE 3. Verandering van vegetaties.
         
In een natuurgebied komen meestal een aantal verschillende typen vegetaties voor, zoals grasland, bosgebied, watergebied. Deze typen vegetaties worden ecotypen genoemd. De natuur zelf zorgt voor een evenwichtige verdeling van de verschillende ecotypen.
Als de mens zo'n evenwicht verstoort, bijvoorbeeld door het kappen van een stuk bos, dan zal de natuur zelf weer op zoek gaan naar een nieuw evenwicht. Daarbij kan het ene ecotype geleidelijk overgaan in een ander ecotype.
Aan de hand van een voorbeeldgebied, bestaande uit 3 ecotypen (grasland, struikengebied, bosgebied) bestuderen we het volgende overgangsschema:
         

         
In dit schema valt onder andere af te lezen dat van de huidige oppervlakte aan grasland in een periode van één jaar 25% overgaat in struikengebied, terwijl in diezelfde periode van één jaar zowel van het struikengebied als van het bosgebied 10% overgaat in grasland.
Het voorbeeldgebied heeft een oppervlakte van 140 ha (= hectare).
Op zeker moment is de verdeling van deze oppervlakte over de drie ecotypen als volgt:
         

         
Eén jaar later is de oppervlakte aan grasland veranderd.
         
10. Bereken de nieuwe oppervlakte.
         
Met behulp van een computer zijn de veranderingen voor een aantal jaren doorgerekend. Op een gegeven moment geeft de computer de volgende oppervlakteverdeling:
         

         
11. Toon aan dat de computer voor alle volgende jaren dezelfde oppervlakteverdeling van gras, struiken en bos vindt.
         
Het natuurgebied de Biesbosch staat onder invloed van de getijden. Door de afsluiting van het Haringvliet in 1970 werd die invloed veel kleiner. Na dit ingrijpen is de natuur in de Biesbosch op zoek naar een nieuw evenwicht. Deze beweging wordt geïllustreerd in het volgende schema. In dit schema zie je dat er 8 ecotypen worden onderscheiden.
         

         
Aanvullende informatie bij dit schema wordt gegeven door de 8 ´ 8 matrix M (zie hieronder).
Uit de matrix M blijkt bijvoorbeeld dat per jaar 2% van het aantal hectare "Oeverwal" overgaat in "Oever". Elke stip in de matrix M stelt het getal 0 voor.
In de kolommatrix ernaast is af te lezen hoeveel hectare elk van de acht ecotypen besloeg in 1983.
         

         
12. Bereken het aantal hectare Grienden in 1984
         
13. Bereken hoeveel hectare Oeverwal er nog zal zijn in 1993
         
Neem aan dat de overgangspercentages ook op de lange duur ongewijzigd blijven. In de toekomst zal er dan in de Biesbosch een nieuw evenwicht ontstaan. In die evenwichtstoestand zullen nog maar vier van de acht ecotypen voorkomen.
         
14. Geef het overgangsschema (met de vier ecotypen en de overgangspercentages) bij de uiteindelijke evenwichtstoestand.
         

 

OPGAVE 5. Intelligentie van ratten.
         
Bij onderzoek naar intelligentie van ratten wordt soms gebruik gemaakt van een gangenstelsel, een zogenaamd T-labyrint.
Hieronder zie je zo'n labyrint.
         

         
In elk van de verticaal getekende gangen zit een klapdeurtje, dat slechts in één richting kan worden gepasseerd. Dat verhindert dat een rat terug naar "boven" kan lopen.
Een rat kan langs een groot aantal routes van ingang naar uitgang lopen. In de figuur is een voorbeeld van een route getekend. Twee routes van ingang naar uitgang worden als gelijk beschouwd als dezelfde serie klapdeurtjes wordt gepasseerd.
         
15. Hoeveel verschillende routes zijn er van ingang naar uitgang?
         
Bij P, Q en R worden de deurtjes vergrendeld waardoor drie doodlopende gangen ontstaan. Loopt een rat een doodlopende gang in, dan wordt dat als een fout geregistreerd. Neem aan dat een rat op willekeurige wijze zijn weg door het T-labyrint kiest en nooit tweemaal dezelfde doodlopende gang ingaat.
         
16. Toon aan dat de kans op een route zonder fouten precies 50% is.
         
Een onderzoeker koos een willekeurige groep van 144 ratten en liet elke rat 19 keer door een dergelijk T-labyrint (met een groter aantal doodlopende gangen) lopen.
Dieren die weinig fouten maakten werden beoordeeld als "slim", die veel fouten maakten als "dom". De resultaten van de tellingen zijn samengevat in het volgende frequentiepolygoon.
         

         
Na de eerste serie proeven werden de 25% slimste ratten en de 25% domste ratten geselecteerd.
         
17. Ga met behulp van bovenstaande figuur na of een rat die in totaal 40 fouten maakte tot de 'slimmen' werd gerekend.
         
Na het eerste selectie-experiment werden de slimste ratten met elkaar gekruist, datzelfde gebeurde met de domste ratten. De nakomelingen ondergingen weer dezelfde 19 proeven. Op grond daarvan werden van de slimme ratten de 25% slimste en van de domme ratten de 25% domste  ratten geselecteerd. Deze procedure werd een aantal keren herhaald.
Het totale experiment ging over 18 generaties. De 'slimmen' en 'dommen' ontwikkelden zich tot aparte klassen. De volgende figuur geeft de resultaten van die klassen in de 8e generatie.
         

         
Na de 8e generatie veranderde het verdelingspatroon nauwelijks meer. Dit patroon kan worden benaderd door twee normale verdelingen met de volgende gegevens:
         
aantal fouten van gemiddelde standaardafwijking
'slimmen'
'dommen'		 27
124		 9
30
         
Gebruik deze gegevens bij de beantwoording van de volgende vragen.
         
18. Bereken het kleinste aantal fouten op grond waarvan een domme rat geselecteerd wordt om de volgende generatie 'dommen' voort te brengen.
         
Een slimme rat maakt in totaal 20 fouten bij een serie van 19 proeven in het T-labyrint.
         
19. Onderzoek af deze rat zal worden geselecteerd om de volgende slimme generatie voort te brengen.
         

 

OPGAVE 6. Hoe betrouwbaar is een keten?
         
Bij een ingewikkeld apparaat is vaak een keten van onderdelen nodig om het geheel te laten functioneren. Daarbij is de betrouwbaarheid van een keten (zoals in de figuur hieronder) kleiner dan de betrouwbaarheid van de afzonderlijk delen. Dat komt doordat het uitvallen van één onderdeel het uitvallen van de hele keten tot gevolg heeft.
Bekijk een keten van 5 onderdelen (A, B, C, D en E), die elk een kans van 10% hebben om uit te vallen, of, wat hetzelfde is, die elk een betrouwbaarheid hebben van 90%.
         

         
20. Laat zien dat de betrouwbaarheid van deze keten ongeveer 60% is.
         
Men kan de betrouwbaarheid vergroten door naast de keten van de figuur hierboven een zelfde keten te schakelen (zie onderstaande figuur). Dit heeft het voordeel dat als één keten uitvalt het systeem nog blijft functioneren.
         

         
21. Bereken de betrouwbaarheid van dit tweede systeem.
         
Een nog beter systeem krijgt men door de 10 onderdelen zo te schakelen als hieronder weergegeven is.
         

         
Elk van de tien onderdelen heeft weer een betrouwbaarheid van 90%
         
22. Bereken de betrouwbaarheid van dit laatste systeem.
         

 

 

UITWERKING
   
1.  

   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.