HAVO, 1978 - II

 

1. In R3 zijn ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz gegeven de punten A(3,0,0), B(0,6,0),C(0,0,3) en D(3, 6, -6)
       
  a. Bereken de cosinus van de hoek van de vlakken ABC en CDO
       
  b. Bewijs dat de lijn DO evenwijdig is aan het vlak ABC en bereken de afstand van de lijn DO en het vlak ABC.
       
  c. Van een punt E is gegeven dat het vlak ABC het middelloodvlak is van het lijnstuk DE.
Bereken de coördinaten van E
       
2. In een doos zitten tien kaarten.
Op elke kaart staat één cijfer. De cijfers zijn 5,5,6,7,7,7,7,8,8 en 9
Men trekt aselect zonder terugleggen twee kaarten.
       
  a. Bereken de kans dat op beide kaarten een 7 staat.
       
  b. Bereken de kans dat op tenminste één van de beide kaarten een 7 staat.
       
  c. Bereken de kans dat het gemiddelde van de cijfers op de twee kaarten 7 is.
       
3. In R2 zijn ten opzichte van ene rechthoekig assenstelsel Oxy voor elke p ∈ R gegeven:
 
 
       
  a. Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen l4 en  m4.
Teken de lijnen l4 en m4 ten opzichte van het assenstelsel.
       
  b. Voor welke p geldt:  lp en mp vallen samen?
       
  c. Voor welke p geldt:  lp en mp snijden elkaar in ene punt op de x-as?
       
4. Gegeven zijn de functies van  [0, 2π] naar R:
 

       
  a. Bereken de coördinaten van de gemeenschappelijke punten van de grafieken van f en g
       
  b. Onderzoek de functie f en teken ten opzichte van één rechthoekig assenstelsel Oxy de grafieken van f en g.
       
  c. Los op: f(x) < g(x).
       
5. Gegeven zijn de functies van R naar R:  f :  x  →  2 - 2logx   en   g  :  x  →   2log(5 - x)
       
  a. De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B.  Bereken de coördinaten van A en B.
       
  b. Geef van elke functie het domein en het bereik.
Teken ten opzichte van één rechthoekig assenstelsel Oxy de grafieken van f en g.
       
  c.

Een lijn l met vergelijking x = p waarbij  p Î R snijdt het lijnstuk AB. De lijn l snijdt de grafiek van f in punt C en de grafiek van g in punt D.
Voor welke p geldt:  de lengte van het lijnstuk CD is maximaal?

       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.