Nieuwe pagina 1


OPGAVEN

1.	Gegeven is de kromme K: x(t) = cost en y(t) = sin(t - ¹/₆p) Bereken de snijpunten van K met de coördinaatassen, en geef de punten van K waar de raaklijn evenwijdig is aan één van de coördinaatassen.



OPLOSSING

1.	x(t) = cost en y(t) = sin(t - ¹/₆p) snijpunt x-as: y = 0 Þ sin(t - ¹/₆p)= 0 Þ t - ¹/₆p = 0 (mod 2p) V (t - ¹/₆p) = p (mod 2p) Þ t = ¹/₆p V t = 1¹/₆p. Dat geeft x = ¹/₂Ö3 en x = -¹/₂Ö3 dus de snijpunten zijn (¹/₂Ö3, 0) en (-¹/₂Ö3,0) snijpunt y-as: x = 0 Þ cost = 0 Þ t = ¹/₂p (mod 2p) V t = 1¹/₂p (mod 2p) Dat geeft y = ¹/₂Ö3 V y = -¹/₂Ö3 dus de snijpunten zijn (0, ¹/₂Ö3) en (0, -¹/₂Ö3) raakijn evenwijdig aan de x-as: y ' = 0 Þ cos(t - ¹/₆p) = 0 Þ t - ¹/₆p = ¹/₂p (mod 2p) V t - ¹/₆p = 1¹/₂p (mod 2p) Þ t = ²/₃p V t = 1²/₃p en dat geeft de punten (-¹/₂, 1) en (¹/₂ , -1) raaklijn evenwijdig aan de y-as: x ' = 0 Þ -sint = 0 Þ t = 0 V t = p Dat geeft de punten (1, -¹/₂) en (-1, ¹/₂)


Parameterkrommen

Zo'n kromme heet ook wel een Lissajous-figuur. Bij een parameterkromme worden de plaats van x en y apart gegeven als functie van de tijd t. Dat ziet er bijvoorbeeld zó uit (een aantal t-waarden zijn bij de figuur gezet):



t is de parameter. Voor allerlei waarden van t kun je nu x en y berekenen en het punt (x,y) tekenen. Dat geeft kromme K.

1. Snijpunten met de x-as of y-as

Voor snijpunten met de x-as stel je y(t) = 0 Dat levert t-waarde(n) op en door die in te vullen in de vergelijking x(t) vind je de bijbehorende punten. Voor snijpunten met de y-as gaat het net zo, maar dan met x(t) = 0

2. Raaklijnen evenwijdig aan de x-as of y-as

Voor raaklijnen evenwijdig aan de y-as stel je x'(t) = 0 Voor raaklijnen evenwijdig aan de x-as stel je y'(t) = 0