Verdubbelingsformules.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)


sin(a + b)
Deze twee formules kwamen we al eerder tegen:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ -  sinαsinβ
Maar als je kiest  β = α, dan veranderen deze formules in de volgenden (ga het zelf maar na, het is erg eenvoudig):

sin(2α) = 2sinαcosα
cos(2α) = cos2α - sin2α
Omdat ze het verband tussen de sinus en cosinus van een hoek en zijn dubbele geven, worden het wel de verdubbelingsformules genoemd.
1. a. De formule voor cos(2α) is ook te schrijven als  cos(2α) = 1 - 2sin2α.  Toon dat aan
b. De formule voor  cos(2α) is ook te schrijven als  cos(2α) = 2cos2α - 1.  Toon dat aan.
c. Toon aan dat geldt:   1 + sin2α = (sinα + cosα)2
2. a. Door te schrijven  sin(3α) = sin(2α + α)  kun je bewijzen dat  sin(3α) =  3sinα - 4sin3α
b. Toon aan dat  sin(4α) = 4sinαcos3α - 4sin3αcosα
c. Toon aan dat  sin(4α) = 2sin2α • (1 - 2sin2α)
3. a. Omdat je weet dat  sin(1/6π) = 1/2 kun je met de verdubbelingsformule nu ook een exacte waarde voor sin(1/12π) uitrekenen. Dat kan door te kiezen α = 1/6π.  Bereken die exacte waarde van sin(1/12π).
   

√(0.5-0,25√3)
b. Geef op dezelfde manier een exacte waarde voor cos(1/8π).
   

√(0.5-0,25√2)
c. Geef met het antwoord op de vorige vraag een exacte waarde voor cos(1/16π)
   

√(0.5 + 0,5√(0,5 + 0,25√2))
4. In een rechthoekige driehoek ABC met AC = 4 wordt de bissectrice CP getekend. Het blijkt dat AP = 3.

Bereken BC.

   

100/7
5. a.
   

 0, 2π/3, 4π/3, 2π
  b. Los op in [0, 2π]:   cos2x - sinx = 0
     

π/6, 5π/6, 3π/2
     
6. ABC is een driehoek met BC = 4, CA = 5 en AB = 6
Bewijs dat dan ∠C = 2 • ∠A 
Gebruik de cosinusregel!
     
7.
  Voor het geval je het niet wist:  tanx = sinx/cosx
       
8. Een leerling heeft zijn proefwerk wiskunde-B niet zo goed geleerd, en meldt zich daarom maar ziek op de proefwerkdag. Maar op de inhaaldag heeft hij het nog steeds niet al te goed geleerd.
Zo schrijft hij o.a. de volgende onzin op:  cos 2α = 2 • cosα.

Oei!!!
Maar wat blijkt: hij vindt toch de goede hoek α bij deze opgave!

Bepaal wat deze hoek α moet zijn geweest. Doe dat op twee manieren:   
       
  a. Met de grafische rekenmachine.
       
  b. Algebraïsch; bereken α op twee decimalen nauwkeurig.
     

 1.95  of  4.34
       
9. Om te onthouden waar zij in haar boek is gebleven vouwt Lilian de bladzijden altijd om zoals hiernaast.

Als de breedte van een bladzijde 16 cm is, dan geldt voor de lengte L van de vouw:

L =  8/(sinα - sin3α)

Toon dat aan.

       
10. Los algebraïsch op in  [0, 2π]:    cos(4x) + 2cos2x = 0
     

1/4π + k1/2π
1/3π + k1/2π
       
11. Bereken de nulpunten en de extreme waarden die de functie  f(x) = sin2x - 2sinx  in het interval [0, 2π] heeft.
       
12. Gegeven zijn op interval  [0, 1/2π] de functies  fa(x) = asinx  en g(x) = 1/cosx.
       
  a. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f3 en g. Geef je antwoorden in 2 decimalen nauwkeurig.
       
  b. Voor welke a hebben de grafieken geen snijpunt?
       
13. Welke waarden kan a aannemen als er twee dingen gegeven zijn:
  I:    tanx = 2
II:   sin2x + cos2x = a(sinx + cosx)

Daarbij is  tanx = sinx/cosx
     

-1/3 ≤  a ≤ 1/3
14. Los op:   √(4 - 7sin2x) = cosx - sinx
     

-1/12π en 5/12π

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)