© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verschilrijen bij hogere-machts polynomen.
Eerst gaan we maar eens proberen wat regelmaat in die verschilrijen te ontdekken.
Laten we tabellen voor un = n2un = n3un = n4  enz gaan maken, en dan steeds daarvan verschilrijen maken en dan verschilrijen-van-verschilrijen en dan verschilrijen-van-verschilrijen-van-verschilrijen. Dat doen we steeds totdat we op een rij constante getallen uitkomen. (de eerste hoort steeds bij n = 1)
n2
un 1 4 9 16 25 36 49 64
Δun - 3 5 7 9 11 13 15
ΔΔun - - 2 2 2 2 2 2
n3
un 1 8 27 64 125 216 343 512
Δun - 7 19 37 61 91 127 169
ΔΔun - - 12 18 24 30 36 42
ΔΔΔun - - - 6 6 6 6 6
n4
un 1 16 81 256 625 1296 2401 4096
Δun - 15 65 175 369 671 1105 1695
ΔΔun - - 50 110 194 302 434 590
ΔΔΔun - - - 60 84 108 132 156
ΔΔΔΔun - - - - 24 24 24 24
n5
un 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768
Δun - 31 211 781 2101 4651 9031 15961
ΔΔun - - 180 570 1320 2550 4380 6930
ΔΔΔun - - - 390 750 1230 1830 2550
ΔΔΔΔun - - - - 360 480 600 720
ΔΔΔΔΔun - - - - - 120 120 120
Zie je al hoe die laatste constante getallen afhangen van de macht van n?
Bij n2   is het 2
Bij n3   is het 6 en dat is  2 • 3
Bij n4   is het 24  en  dat is  2 • 3 • 4
Bij n5   is het 120 en dat  2 • 3 • 4 • 5
....
Bij n10  is het  2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10  en dat is......10!  ("tien faculteit")
Als de hoogste macht van een polynoom gelijk is aan h
dan geldt:
   
1. de rij van de hde verschillen is constant met verschil c
2. voor de term  a • nh  geldt dat  c = a • h!  
Hoe het vinden van de rest van het polynoom in zijn werk gaat zal het volgende uitgebreide voorbeeld waarschijnlijk wel duidelijk maken.
Uitgebreid voorbeeld.

De volgende rij getallen hoort bij een polynoom. Zoek uit welk polynoom.
n 1 2 3 4 5 6
un -2 34 196 652 1642 3478
Laten we rijen v met verschillen gaan maken totdat we op constante verschillen uitkomen:
n 1 2 3 4 5 6
un -2 34 196 652 1642 3478
Δun - 36 162 456 990 1836
ΔΔun - - 126 294 534 846
ΔΔΔun - - - 168 240 312
ΔΔΔΔun - - - - 72 72
   
De rij van vierde verschillen geeft constante getallen dus de hoogste macht van n is n4
a • 4! = 72  betekent dat  a = 3.  Dus het polynoom begint met  3n4 ......
Trek daarom 3naf van de oorspronkelijke rij. Dat geeft:
n 1 2 3 4 5 6
un - 3n4 -5 -14 -47 -116 -233 -410
   
Ga hier weer zo'n tabel van verschillen van maken:
   
n 1 2 3 4 5 6
un -5 -14 -47 -116 -233 -410
Δun - -9 -33 -69 -117 -177
ΔΔun - - -24 -36 -48 -60
ΔΔΔun - - - -12 -12 -12
   
De rij van derde verschillen geeft een constante c = -12  dus  b • 3! = -12  ofwel  b = -2
Het polynoom begint met  3n4 - 2n3 ......
Trek daarom 3n4 - 2naf van de oorspronkelijke rij, en maak er weer verschilrijen bij. Dat geeft:
   
n 1 2 3 4 5 6
un - (3n4 - 2n3) -3 2 7 12 17 22
Δ - 5 5 5 5 5
   
Nu is de eerste rij verschillen al constant met c = 5. Dat betekent dat er geen term is met n2 en dat voor de volgende term geldt  d • 1! = 5  dus  d = 5. 
Het polynoom begint met  3n4 - 2n3 + 5n ......

Trek nu  3n4 - 2n3 + 5af van de oorspronkelijk rij.

Dat geeft overal -8.

Dat betekent dat het polynoom is:    3n4 - 2n3 + 5n - 8

Hè hè......gevonden.
   
  OPGAVEN
   
1. Geef polynomen bij de volgende rijen, steeds beginnend met u1:
         
  a. 28  -  68  -  120  -  172  -  212  -  228  -  ....

-2n3 +18n2 +12

  b. 1 - 60 - 477 - 2032 - 6225 - 15516 - 33565 - 65472 - ...

2n5 - n2

  c. 0 - 33 - 208 - 705 - 1776 - 3745 - 7008 - 12033 - ...

3n4 - 4n2 +1

  d. 972  -  919  -  824  -  675  -  460  -  167  -  ... 

-2n3 -3n2 +1000

         
2. Wat zou je doen als de rij niet met u1 zou beginnen, maar met bijvoorbeeld u3?
Kun je een manier verzinnen om dan toch dit systeem te kunnen toepassen?
         
3. Bij het wereldrecord kratten stapelen in een eerdere opgave kwamen we de som 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n2
tegen.
Maak een directe formule voor deze som.
       

1/3n3 + 1/2n2 + 1/6n

         
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)