Nieuwe pagina 1

Nóg meer dingen die fout kunnen gaan...

Misschien had je het zelf al wel verzonnen. Met die karakteristieke vergelijking kan nog meer misgaan.
Als de discriminant ervan NUL is, dan is er namelijk maar één oplossing (eigenlijk twee samenvallende oplossingen).
En met maar één g kun je niet voldoen aan de beide beginvoorwaarden.
Je zou misschien heel optimistisch stellen u_n = A • gⁿ + B • gⁿ maar dan zit je jezelf op te lichten! Je komt er wel achter als je het stelsel van twee vergelijkingen voor A en B probeert op te lossen (dat lukt niet) maar eigenlijk kun je het ook al wel meteen zien, want daar staat natuurlijk gewoon u_n = (A + B)• gⁿ = C • gⁿ . Eigenlijk maar één waarde te kiezen dus!

Hoe kan het dan wel?

Daarvoor heb je de volgende stelling nodig:

Stelling

Gegeven de vergelijking u_n = a • u_n-1 + b • u_n_-2waarvan de karakteristieke vergelijking maar één oplossing heeft.

Als u_n = gⁿ een oplossing is, dan is u_n = n • gⁿ óók een oplossing.

Bewijs:
- wie zin heeft in een verdieping heeft ook zin in een pittig bewijsje toch???-

Laten we ons eerst even realiseren wat het betekent dat de karakteristieke vergelijking maar één oplossing heeft.
De karakteristieke vergelijking is g² - ag - b = 0
Die heeft één oplossing als de discriminant nul is: D = a² + 4b = 0   .......(1)
In dat geval is die oplossing gelijk aan x = ^-b/_2a in dit geval geeft dat g = ^a/₂    ......(2)

Tot zover het voorbereidende werk.
We moeten bewijzen dat n • u_n voldoet aan de differentievergelijking, dus dat: n • u_n = a(n -1) • u_n_-1 + b(n - 2) • u_n_-2Omdat u_n = gⁿ geeft dat aan de rechterkant;
a(n -1) • u_n_-1 + b(n - 2) • u_n_-2= a(n -1) • g^n-¹ + b(n - 2) • g^n-²haakjes wegwerken maar!= ang^n-1 - agⁿ^-1 + bngⁿ^-2 - 2bgⁿ^-2
= (ang^n-1 + bngⁿ^-2) - (agⁿ^-1 + 2bgⁿ^-2)
= n(ag^n-1 + bgⁿ^-2) - (agⁿ^-1 + 2bgⁿ^-2)

De eerste term is inderdaad precies gelijk aan n • u_n.
Blijft over te bewijzen dat de tweede term NUL is!
Dat gaat zó:
agⁿ^-1 + 2bgⁿ^-2
= g^n-² • (ag + 2b)    gebruik nu tussen haakjes (2):
= gⁿ^-2 • (¹/₂a² + 2b)
Daar staat precies tussen haakjes de helft van vergelijking (1) dus dat is inderdaad nul.
q.e.d.

Hoe gaat zo'n oplossing dan?

Voorbeeld.

Geef een directe formule voor u_n = 6u_n_-1 - 9u_n_-2 met u₀ = 4 en u₁ = 6
De karakteristieke vergelijking is g² - 6g + 9 = 0 ⇒ (g - 3)² = 0 Þ g = 3 is de enige oplossing.
Probeer daarom de algemene oplossing u_n = A • 3ⁿ + B • n • 3ⁿu₀= 4 geeft dan A = 4
u₁ = 6 geeft dan 3A + 3B = 6 ⇒ 12 + 3B = 6 ⇒ B = -2
De algemene oplossing is u_n = 4 • 3ⁿ - 2 • n • 3ⁿ ofwel u_n = (4 - 2n) • 3ⁿ
En zo komt alles toch op zijn pootjes terecht. Mooi.