© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We vegen nog lekker even door....
       
De vorige les hebben we gezien hoe we door een matrix schoon te vegen de zogenaamde rij-echelon vorm kunnen krijgen en daarmee een stelsel vergelijkingen kunnen oplossen.

Maar niets belet ons om vanuit die schoongeveegde matrix nog verder door te vegen....
Deze keer gaan we verder omhoog vegen.

Het doel gaat worden om aan de linkerkant de eenheidsmatrix te krijgen.
Dat kunnen we bereiken door de kolommen van achter naar voren met nullen te gaan vullen.

Het werkt zó:

       
Hiernaast staat de schoongeveegde matrix waar we de vorige les mee waren geëindigd.
Deel eerst de laatste rij door -23 zodat daar een 1 vooraan komt te staan.

Dat geeft de matrix hiernaast.
Nu gaan we in de derde kolom boven de 1 ook nullen maken.

Trek 7 keer de onderste rij van de tweede rij af, en op de plaats van die 7 komt een 0.
Tel 3 keer de onderste rij bij de bovenste op en op de plaats van die -3 komt een 0.

Samen geeft dat de matrix hiernaast, en je ziet dat de derde kolom nu die van de eenheidsmatrix is geworden.
Op naar de tweede kolom.

Tel 2 keer de tweede rij op bij de eerste en de -2 wordt een nul.


Dat geeft uiteindelijk de matrix hiernaast.
Je ziet dat daar links de 3 × 3  eenheidsmatrix I staat.

Terugvertaald naar het stelsel vergelijkingen staat hier nu dus  x = 2 en y = -3 en z = 4, ofwel: 

daar staat direct de oplossing van het stelsel!!

       
Deze laatste "helemaal schoongeveegde" vorm van de matrix heet de  "gereduceerde rij-echelon vorm". Die is bij elk stelsel éénduidig bepaald (dat moet ook wel:  er staat immers de oplossing van het stelsel in de laatste kolom).

Met de Grafische Rekenmachine

Uiteraard kan je grafische rekenmachine ook een matrix in deze vorm omzetten.
Dat gaat via de optie  2ND   MATRIX   MATH    B: rref(
Met de matrix A uit het voorbeeld geeft dat:
       

       
Wat kan er misgaan?
       
Laten we nietsvermoedend het volgende stelsel proberen op te lossen:
       

       
Invoeren in de GR en dan rref  berekenen geeft het volgende verrassende resultaat  (met de hand schoonvegen kan natuurlijk ook).  Door  te gebruiken  MATH - Frac  heb ik trouwens mooie breuken gekregen:
       

       
Maar kijk naar die laatste rij!  Daar staat niet de rij van de eenheidsmatrix; daar staan alleen maar nullen. De laatste vergelijking is geworden  0 = 0. Er zijn dus nog maar twee vergelijkingen over met drie onbekenden!  Dat valt niet op te lossen!! Er staat alleen nog maar  x - 1/3z = 8/3  en  y - 2/3z = 1/3.  Dat geeft oneindig veel oplossingen.

Hoe komt dat?

Dat komt omdat twee van de drie vergelijkingen van het stelsel de derde vergelijking al opleveren. Die derde voegt niets nieuws toe, maar zit als het ware al in de andere twee verborgen.  Zo krijg je bijvoorbeeld de derde vergelijking hierboven door tweemaal de eerste bij de tweede op te tellen (of de tweede door  tweemaal de eerste van de derde af te trekken, of .....).
Een stelsel vergelijkingen waarvoor dat geldt (waarvoor die onderste rij alleen maar nullen oplevert) heet afhankelijk, en het heeft oneindig veel oplossingen.

Laten we het stelsel een klein beetje aanpassen door bijvoorbeeld de eerste vergelijking de 2 rechts door een 1 te vervangen. Dat geeft het volgende stelsel met de oplossing ernaast:
   

Nu staat er in de onderste rij  0x + 0y + 0z = 1.
Dat kan nooit kloppend worden, dus dit stelsel heeft geen enkele oplossing. Zo'n stelsel heet strijdig.  Het komt omdat uit twee vergelijkingen een nieuwe vergelijking volgt die niet klopt met de derde.
Samengevat voor drie vergelijkingen:
       

       
En voor 4, 5  enz. vergelijkingen geldt natuurlijk  hetzelfde, maar dan met grotere matrices.
       
       
  OPGAVEN
       
1. Los de volgende stelsels vergelijkingen op.  Als er niet één oplossing is, geef dan aan of het stelsel strijdig of afhankelijk is, en geef in  het geval van een afhankelijk stelsel één mogelijke oplossing.
       
  a.

       
  b.

       
  c.

       
  d.

       
2. Voor welke waarden van p en q zijn de volgende stelsels afhankelijk en voor welke waarden zijn de stelsels strijdig?
       
  a.

       
  b.

       
3. Een derdegraadsfunctie is van de vorm  y = ax3 + bx2 + cx + d 
De grafiek ervan gaat door de punten   (2, 8)  en  (4, 94)  en   (-3, -102)  en  (8, 866)
Bereken de waarden van a, b, c en d waarvoor dat klopt.
       
4. Hieronder zie je 4 weegschalen die in evenwicht zijn. De gewichten zijn in grammen.
       
 

       
  Hoeveel weegt een peer?
     

220 g
       
5.

Hieronder zie je van 4 frisdrankproducten de inhoud, het suikergehalte, de prijs en de hoeveelheid cafeïne.

       
 

       
 

Ik geef een feestje en koop in de supermarkt een aantal van deze producten.  Het kost me €112,-  
Na af loop bereken ik dat ik  43500 ml frisdrank (dus 43,5 liter)  heb gekocht, waarvan 5420 g suiker en 14400 mg cafeïne.
Stel dat ik  a  flessen cola en  b  blikjes Red Bull en  c  flessen Fanta en  d  flesjes chocomel heb gekocht.

Bereken dan a, b, c en d.
       
6. Hieronder zie je 5 bonnen van een cafetaria
       
 

       
  Ik ga  5 kroketten,  2 hamburgers,  10 patat,  3 loempia's en 1 gehaktbal bestellen.
Hoeveel moet ik betalen?
       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)