© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   

1. a. route  AB:   z = a + 2i  dus  dz = da  en a loopt van  0 tot 1  
   
     
    route BC:   z = 1 + bi  dus  dz = idb  en b loopt van  2 naar 1
   
     
    Samen geeft dat   5 + i
     
       
  b. Omdat er staat lnz probeer ik een kwartcirkel als route.
Op die cirkel is  z = reiφ = eiφ  (want r = 1), dus lnz = iφ
Dan is  dz = ieiφ dφ  en φ loopt van  0  tot 1/2π

   

    Daarbij heb ik gebruikt dat de primitieve van xex gelijk is aan xex - ex
e0,5πi  =  i  dus dan geeft dat   (i • 1/2π • i  - i) - (0 - 1) = 1 - 1/2π - i
       
2.  

       
    de blauwe route:
eerste deel:  z = a  met a van  -5 naar -3:  een gewone reële integraal met als uitkomst  -8
tweede deel:  z = -3 + bi  dus  dz = idb  en b van  0 tot 4
   

    samen geeft dat voor de hele route   -16 - 12i   
       
    de rode route:
z = 5eiφ   met φ van π  naar π - arctan(4/3)
dz = 5ieiφ dφ		  
   

    = 121/2 • (cos(2π - 2arctan(4/3)) + isin(2π-2arctan(4/3)) - 1)
=  121/2 • (-0,28 - 0,96i  - 1)
= -16 - 12i		  
       
3. a. Eerste deel van de route:  z = a + 2i  dus  dz = da en z2 = a2 + 4ai - 4
a loopt van  1/2 naar 1, dus dat geeft:
   

    Tweede deel van de route:  z = 1 + bi  dus  z2 = 1 + 2bi - b2   en   dz = idb
b loopt van  2 naar 1, dus dat geeft:
   

    samen geeft dat  31/24 + 17/6i
       
  b. z = a + bi  geeft met  b = 1/a  dat z = a + 1/a • i  en a loopt van  1/2 naar 1 
dz = da - 1/a² ida
z2  = a2 + 2i  - 1/a²   en samen geeft dat:   
   

   

    gelukkig hetzelfde als in vraag a.....  
       
4.

       
a. Via de blauwe route.

Op het eerste stuk is  z = 1 + bi  dus  dz = idb  en b loopt van 1 tot 4.
Dan is  f(z) = 6(1 + bi)2 + 2i(1 + bi)  = 6(1 + 2ib - b2) +2i - 2b  =  6 + 12ib - 6b2 + 2i - 2b
f(z)dz = (6 + 12ib - 6b2 + 2i - 2b) idb  =  (6i - 12b - 6ib2 - 2 - 2ib)db
 

  =  (24i - 96 - 128i - 8 - 16i) - (6i - 6 - 2i - 2 - i)
=  (-120i - 104) - (3i - 8)
= -123i - 96
       
  Op het tweede stuk is  z = a + 4i  dus  dz = da  en a loopt van 1 tot 2.
Dan is  f(z) = 6(a + 4i)2 + 2i(a + 4i) = 6(a2 + 8ai - 16) + 2ai - 8  = 6a2 + 50ai - 104
 

  = (16 + 100i - 208) - (2 + 25i - 104)
= -90 + 75i
     
  Samen geeft dat   -90 +75i - 96 - 123i = -186 - 48i
       
b. Direct door complexe getallen te primitiveren:
 

  = 2(2 + 4i)3 + i(2 + 4i)2 - 2(1 + i)3 - i(1 + i)2
= 2(-88-16i) + i(-12 + 16i) - 2(-2 + 2i) - i(2i)
= -176 - 32i - 12i - 16 + 4 - 4i + 2
=  -186 - 48i
       
c. Als z = a + bi  dan is op de rode route  b = a2   dus  z = a + ia2
dz = (1 + 2ia)da
f(z) = 6(a + ia2)2 + 2i(a + ia2) = 6(a2 + 2ia3 - a4) + 2ia - 2a2  = 6a2 + 12ia3 - 6a4 + 2ia - 2a2
= 4a2 + 12ia3 - 6a4 + 2ia
f(z)dz = (4a2 + 12ia3 - 6a4 + 2ia)(1 + 2ia)da  =  (4a2 + 12ia3 - 6a4 + 2ia + 8ia3 - 24a4 - 12ia5 - 4a2)da
f(z)dz = 20ia3 - 30a4 + 2ia - 12ia5
 

  = (80i - 192 + 4i - 128i) - (5i - 6 + i - 2i)
=  (-44i - 192) - (4i - 6)
= -186 - 48i
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)