h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Zt = 0,20 Gt - 1 + 0,70 Zt - 1
Gt = 0,80 Gt - 1  + 0,30 Zt - 1
       
  b. mode seq
nMin = 0
u(n)= 0,20 v(n - 1) + 0,70 u(n - 1)
u
(nMin) = 1000
v
(n) = 0,80 v(n - 1) + 0,30 u(n - 1)
v
(nMin) = 9000
TABLE en dan   u(8) 3988   en  v(8) = 6012
Er zullen dus over 8 weken  3988 zieken zijn en 6012 gezonden
       
  c. evenwicht:
het systeem is gesloten , dus Z + G = 10000
Z = 0,2G + 0,7Z
Vul in G = 10000 - Z dan krijg je  Z = 0,2(10000 - Z)  + 0,7Z
Z = 2000 - 0,2Z + 0,7Z
0,5Z = 2000
Z = 4000 en dan is G = 6000
       
  d. Gt = 0,8Gt - 1 + 0,3 (10000 - Gt - 1)
Gt = 0,8Gt - 1 + 3000 - 0,3Gt - 1
Gt = 0,5Gt - 1 + 3000

Evenwicht:  E = 6000 (zie vraag c)
a = 0,5
u0 = 9000
Dat geeft  Gt = 6000 + 0,5t 3000
       
2. a. Tt = 0,2Tt - 1 + 0,6Et - 1
0,2Tt - 1 zijn de tweedejaars die het over moeten doen
0,6Et - 1 zijn de eerstejaars die overgaan naar het tweede jaar.

Et = 1400 - Tt   want het totaal is immers 1400
Met Tt als hierboven geeft dat direct de gezochte vergelijking
       
  b. mode seq
nMin = 0
u(n) = 1400 - 0,2 v(n - 1) - 0,6 u(n - 1)
u(nMin) = 1200
v(n) = 0,2 v(n - 1) + 0,6 u(n - 1)
v(nMin) = 200
TABLE geeft  u(6) = 802  en  v(6) = 598
Er zullen dan dus  802 eerstejaars en 598 tweedejaars zijn.
       
  c. T = 0,2T + 0,6E
T + E = 1400  dus  E = 1400 - T
invullen:  T = 0,2T + 0,6 (1400 - T)
T = 0,2T + 840 - 0,6T
1,4T = 840
T = 600  en dan is E = 1400 - 600 = 800
       
  d. At = At - 1 + 0,7Tt - 1   want die laatste term geeft het aantal nieuw afgestudeerden.
Voeg toe:  w(n) = w(n - 1) + 0,7 v(n - 1)  met  w(nMin) = 0
TABLE geeft dat bij n = 8  voor het eerst w(n)  meer dan 3000 is  (namelijk 3160)
       
3. a. In = 0,60In - 1 + 0,45An - 1   met  I0 = 500
An = 0,55An - 1 + 0,40In - 1  met  A0 = 2500

Omdat  In + An = In - 1 + An - 1 is dit een gesloten systeem (0,45 + 0,55 = 1  en 0,60 + 0,40 = 1)

evenwicht:
I = 0,6I + 0,45A  en  I + A = 3000  dus  A = 3000 - I
tweede invullen in de eerste:  I = 0,6I + 0,45(3000 - I)
I = 0,6I + 1350 - 0,45I
0,85I = 1350
I = 1600  en dan is  A = 3000 - 1600 = 1400
       
  b. in de GR:  mode seq
nMin = 0
u(n) = 0,7 u(n - 1)  + 0,6 v(n - 1)
u(nMin) = 2500
v(n) = 0,4 u(n - 1) + 0,3 v(n - 1) + 100
v(nMin) = 500
TABLE geeft bij n = 10  dat  u(10) =  3266  en  v(10) = 1889
Dus Amerika zal 3266 uitgeven en Irak 1889
       
  c. Kijk met de GR in TABLE bij erg grote waarden van n.
De aantallen blijven steeds groeien; er lijkt geen evenwicht te zijn.

A = 0,7A + 0,6I   geeft  0,3A = 0,6I  dus  A = 2I
I = 0,4I + 0,3A + 100  geeft dan  I  = 0,4I + 0,3 2I + 100  dus  0 = 100 
Er is dus geen evenwichtspunt
       
  d. An + In 
= 0,57An - 1 + 0,76In - 1 +  0,19In - 1 + 0,38An - 1 
= 0,95An - 1 + 0,95In - 1
= 0,95 (An - 1 + In - 1)

Dus   totaal(n) = 0,95 totaal (n - 1)   dus blijft elk jaar 95% van het totaal over, dus vermindert het met 5%
       
4. a. Et = Tt - 1 + 0,6Dt - 1    (de nakomelingen)
Tt = 0,5Et - 1    (de overlevenden)
Dt = 0,4Tt - 1    (de overlevenden)
E0 = T0 = D0 = 2000

Mode seq
nMin = 0
u(n) = v(n - 1) + 0,6 w(n - 1)
u(nMin) = 2000
v(n) = 0,5 u(n - 1)
v(nMin) = 2000
w(n) = 0,4 v(n - 1)
w(nMin) = 2000
Table geeft dan u10 = E =  344  en  v10 = T = 218  en  w10 = D =  105
       
  b. Beetje proberen met het veranderen van de 0,6  in  u(n) geeft  2,5

beredeneren:
Et = Tt - 1 + a Dt - 1
Et = 0,5Et - 2 + a 0,4 Tt - 2
Et = 0,5Et - 2 + 0,4 0,5a Et - 3
Voor evenwicht moeten al de E's gelijk zijn:   E = 0,5E + 0,2aE
Dat geeft  1 = 0,5 + 0,2a  ofwel a = 2,5

a = 2,5 geeft evenwicht  E = 4400,  T = 2200  en  D = 880  
       
5. a. 0,85 + 0,12  en  0,10 + 0,82 zijn beiden kleiner dan 1.
       
  b. Voer de rijen bij u en v in de GR in. ?
w = u + v  moet kleiner dan 600 zijn  (dat is 20% van 3000) ?
TABLE  geeft  n = 29  (587,64)
       
  c.    
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)