© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
t 0 5 10 15 20
A(t) 50 570 3116 4775 4982
5000 - A 4950 4430 1884 225 18
(5000 - A)/A 99 7,77 0,60 0,047 0,0036
 
       
    De groeifactoren van de laatste rij zijn  7,77/99 = 0,078  en   0,60/7,77 = 0,078  en  0,047/0,60 = 0,078  en  0,0036/0,047 = 0,077
Dat is allemaal ongeveer gelijk aan g = 0,078  dus is de groei logistisch
       
  b. (5000 - A)/A = 99 • 0,078t    (exponentieel met g = 0,078 en B = 99)
5000 - A = 99A • 0,078t 
A(1 + 99 • 0,078t) = 5000
A = 5000/(1 + 99 • 0,078t)
       
2. a.
    als t groter wordt, dan wordt  e-at  kleiner als a (positief is)
dus wordt 1 + c • e-at  ook kleiner  (c is ook positief)
dan wordt  G/noemer dus juist weer groter (delen door een kleiner getal)

Dus als t groter wordt, wordt y ook groter, dus de grafiek van y(t) stijgt.
       
  b. Hij beweert dus:  y0 + c • y0 =  G

maar  y0 =  y(0) =  G/(1 + c • e0)  = G/(1 + c)
dus  y0 + c • y0G/(1 + c) + c • G/(1 + c) = G • (1/(1 + c) + c/(1 + c)) = G • (1 + c)/(1 + c) = G
Het blijkt te kloppen. 
       
  c. 0,5G = G/(1 + ce-at)   geeft  1 + ce-at = 2
ce-at = 1
e-at = 1/c
-at = ln(1/c) = -lnc
at = lnc
t
= lnc/a
       
3.
jaar 1927 1960 1974 1987 1999 2011 2025 2041 2063
t 27 60 74 87 99 111 125 141 163
wereldbevolking (in miljarden) 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(11,5 - y)/y 4,750 2,833 1,875 1,300 0,917 0,643 0,438 0,278 0,150
       
 

Dat geeft achtereenvolgens:
1927 - 1960:  g33 = 2,833/4,750  dus  g = 0,984
1960 - 1974:  g14 = 1,875/2,833 dus  g = 0,971
1974 - 1987:  g13 = 1,300/1,875  dus  g = 0,972
1987 - 1999:  g12 = 0,917/1,300 dus  g = 0,971
1999 - 2011:  g12 = 0,643/0,917  dus g = 0,971
2011 - 2025:  g14 = 0,438/0,643  dus  g = 0,973
2025 - 2041:  g16 = 0,278/0,438  dus  g = 0,972
2041 - 2072:  g22 = 0,150/0,278  dus  g = 0,972
g
is steeds ongeveer gelijk aan 0,97  (de eerste waarde is mogelijk gevolg van een afronding)

Om B te berekenen kun je een punt uit de tabel invullen in  y = B • 0,97t   Dus  B = y/0,97t
Dat geeft:

       
 
t 27 60 74 87 99 111 125 141 163
(11,5 - y)/y 4,750 2,833 1,875 1,300 0,917 0,643 0,438 0,278 0,150
B 10,8 17,6 17,9 18,4 18,7 18,9 19,7 20,4 21,5

Door afwijkingen in g scheelt dat nogal. Neem ongeveer B = 18
Dat geeft  y11,5/(1 + 18 • 0,97t)

       
4. a. maak een tabel met de groeifactoren:  
       
   
t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
N 110 141 181 232 296 377 477 602 754 938 1155
N(t + 1)/N(t)   1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,2 1,2
       
    Voor  0 < t < 40  blijft g (in ιιn decimaal) ongeveer gelijk dus is er sprake van exponentiλle groei.
       
  b. Plot  Y1 = 5600/(1 + 50 • 0,95^X)
Y2 = Y1(X) - Y1(X - 1)  dat geeft de toename van Y1
Y3 = Y2(X) - Y2(X - 1)  dat geeft de toename van Y2
Kijk bij TABLE wanneer Y3 positief is (dat is als Y2 toeneemt; daar kun je ook naar kijken)
Dat is zo voor  t < 78
       
5. G = 140, dus  y  = 140/(1 + B • gt)
t = 0  geeft  50 cm,  dus  0,5 = 140/(1 + B • g0) = 140/(1 + B)  dus  1 + B = 280  dus B = 279
t = 15 geeft  0,95 • 140 = 133
Dus  133 = 140/(1 + 279 • g15)
1 + 279 • g15  = 1,0526
279 • g15 = 0,0526
g
15 = 0,0001886
g = 0,565
y = 140/(1 + 279 • 0,565t)

Zij groeit het snelst op het buigpunt, en dat is bij y = 0,5G = 70
70 =  140/(1 + 279 • 0,565t)
1 + 279 • 0,565t = 28
279 • 0,565t = 1
0,565t = 0,0035
t = log(0,0035)/log(0,565) = 9,8 jaar
       
6. a. Invoeren in de GR (MODE SEQ)
nmin = 0
u(n) = u(n-1) + 0,3•u(n - 1)•(1 - u(n-1)/10,9)
u(nmin) = 6,1
Dan in de tabel kijken levert als grenswaarde 10,9 miljard (vanaf ongeveer n= 28)
In 2050 (n= 5) zijn er 9,42 miljard
Dat scheelt 1,48 miljard en dat is  1,48/10,9 • 100% = 13,6%
In 2050 is de bevolking dus meer dan 10% van de grenswaarde verwijderd.
       
  b.  
    Begin bij B0 = 6,1 op de x-as. Ga omhoog tot de gekromde grafiek, daarna opzij naar de lijn y = x
Bij dit punt hoort B1 op de x-as.
Ga weer omhoog naar de gekromde grafiek, en weer opzij naar y = x, enz.
       
  c. Stel de bevolking in 1990 gelijk aan x, dan geldt:
6,1 = x + 0,3x • (1 - x/10,9)
6,1 = x + 0,3x - 0,3x • x/10,9  ⇒  6,1 = 1,3x - 0,0275x2  ⇒  0,0275x2 - 1,3x + 6,1 = 0
ABC-formule levert nu  x = 41,99 V x = 5,28 en dat laatste is het juiste antwoord.
(met de GR Y1 = 6,1 en Y2 = x + 0,3x • (1 - x/10,9) en dan intersect kan ook natuurlijk)
In 1990 was de wereldbevolking 5,28 miljard.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)