h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. un = 0,76 un - 1 + 30
un =  (1 - 0,24)un - 1 + 30
un = un - 1 + 0,24(125 - un - 1)
c
 = 0,24 = groeivoet en  G = 125 = grenswaarde  
       
2. a.
t  of n 0 1 2 3 4 5 6
T 100 86,4 75,1 65,7 58,0 51,5 46,2
20 - T -80 -66,4 -55,1 -45,7 -38 -31,5 -26,2
       
    De factoren zijn  66,4/80 = 0,83 en  55,1/66,4 = 0,83  en  45,7/55,1 = 0,83  en  38/45,7 = 0,83  en  31,5/38 = 0,83  en  26,2/31,5 = 0,83
Dat is steeds gelijk dus de groei is asymptotisch.
       
  b. 20 - Tn = 0,83(20 - Tn - 1)   met  T0 = 100
20 - Tn = 16,6 - 0,83Tn - 1
Tn = 0,83Tn - 1 + 3,4

Mode seq
nMin = 0
u(n) = 0,83 * u(n - 1) + 3,4
u(nMin) = 100
TABLE geeft bij n = 15 voor het eerst een temperatuur onder de 25
       
  c. Tn = 0,83Tn - 1 + 3,4  met  T0 = 100
a = 0,83  en b = 3,4
Dat geeft  un = 100 0,83n  + 3,4 (0,83n - 1)/(0,83 - 1)
un = 100 0,83n  + 20(1 - 0,83n)
un = 100 0,83n + 20 - 20 0,8n
un = 80 0,83n + 20

25 =  80 0,83n + 20
5 = 80 0,83n
0,0625 = 0,83n
n = log(0,0625)/log(0,83) = 14,88
Dus inderdaad voor het eerst bij n = 15 een waarde onder de 25
       
3. a. Als er na de nde worp  An dobbelstenen in de schaal liggen, dan gooit hij bij de volgende worp met 120000 - An  stenen.
Dat geeft  1/6 (120000 - An)  extra zessen op tafel.
Dus na de volgende worp liggen er dan  An +1 =  An + 1/6(120000 - An)  met  A0 = 0
Dat is hetzelfde als  An = An - 1 + 1/6(120000 - An - 1)  met A0 = 0 
Met  G = 120000,  c = 1/6   staat daar precies de algemene vorm van een asymptotische groei recursieformule. 
       
  b.

un = an u0 + G(1 - an)  met  a = 1 - c

In dit geval   An = 5/6 n  0  + 120000(1 - 5/6n)  = 120000(1 - 5/6n

       
4. a. Als er na maand n - 1  in totaal Tn-1 aan de dochter is uitgekeerd, dan staat er nog 20000 - Tn - 1 op de rekening.
Dus   Tn = Tn - 1 + 0,05 (20000 - Tn - 1)   met T0 = 0
       
  b. De recursieformule van vraag a) beschrijft asymptotische groei met  c = 0,05 en G = 20000 en T0 = 0
Met de formule voor asymptotische groei geeft dat :    Tn  = 0,95n 0 + 20000(1 - 0,95n)
Dat is  Tn = 20000(1 - 0,95n)
       
  c. Ze kan het volhouden zolang  Tn > 600n
Y1 =  20000 (1 - 0,95^X)
Y2 = 600X
intersect geeft X = 23,18
Ze kan het dus 23 maanden volhouden.
       
  d. Ze krijgt in maand  n een bedrag  Tn - Tn - 1  op haar rekening gestort.
Y1 =  20000 (1 - 0,95^X) - Y1 =  20000 (1 - 0,95^(X-1))
Y2 = 600
intersect geeft  X = 10,95
Ongeveer in maand 11 krijgt ze 600 op gaar rekening gestort.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)