© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ... + 19683  is meetkundig met r = 3  en de volgende is 59049
S = (59049 - 1)/(3 - 1) = 29524
       
  b. 1024 + 1536 + 2304 + 3456 + ... + 17496  is meetkundig met r = 1,5  en de volgende is  26244
S =  (26244 - 1024)/(1,5 - 1) = 50440
       
  c. 10000 + 8000 + 6400 + 5120 + ... + 2097,152 is meetkundig met r = 0,8  en de volgende is  1677,7216
S = (1677,7216 - 10000)/(0,8 - 1) = 41611,392
       
2. a. Als een kubus ribben x heeft,  dan geldt voor de ribben van de kubus erboven (zie de figuur):  y2 = (0,5x)2 + (0,5x)2
y2 = 0,25x2 + 0,25x2
y2 = 0,5x2
y = 0,5 • x

De reden  r  van de rij is dus  0,5
       
  b. De rij is   6  - 6 • 0,5 - 6 • (0,5)2 - 6 • (0,5)3 - .... - 6 • (0,5)9
De volgende is 6 • (0,5)10
De som is  (6 • (0,5)10 - 6)/(0,5 - 1) = 19,84 cm
       
  c. Bij een steeds grotere rij gaat de hoogte van de volgende naar nul.
S =  (0 - 6)/(0,5 - 1)6/(1 - 0,5)    20,485
 
       
  d. Als de ribbenlengte met W0,5 wordt vermenigvuldigd, dan wordt de inhoud met  (0,5)3 = 0,125 vermenigvuldigd.
De eerste inhoud is  63 = 216
De rij met inhouden is dan   216  -  216 • 0,125  -  216 • (0,125)2  -  ......
De volgende in een steeds grotere rij gaat weer naar nul.
S = (0 - 216)/(0,125 - 1)    334,13
       
3. a. De zijden van een driehoek zijn steeds gelijk aan de helft van de zijden van de vorige driehoek.
Dat geeft de rij omtrekken:   18 - 9 - 4,5 - 2,25 - .... - 18 • 0,59
De volgende is  18 • 0,510
S = (18 • 0,510 - 18)/(0,5 - 1) 35,96
       
  b. Als je alsmaar doorgaat wordt de volgende gelijk aan nul.
S = (0 - 18)/(0,5 - 1) = 36
 
       
4. a. Elk nieuwe kleur vierkantje heeft oppervlakte 1/9 van de vorige.
Er zijn 8 keer zoveel nieuwe vierkantjes als de vorige
Dus de nieuwe oppervlakte is  8 • 1/9  van de vorige
Dat geeft een meetkundige rij met beginwaarde 1 en reden  8/9
De totaal geverfde oppervlakte is de som van die rij.
       
  b. 90%  van het doek is oppervlakte  0,90 • 9 = 8,1  m2
S = ((8/9)^n - 1)/(8/9 - 1) = 8,1
(8/9)n - 1 = -0,9
(8/9)n = 0,1
Y1 = (8/9)^X
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst minder dan 0,1 is, dat is bij n = 20
Hij moet 20 kleuren verf gebruiken. 
       
  c. De aantallen vierkanten die hij verft met 20 kleuren  zijn:   1 - 8 - 64 - .... -  819
Dat is een meetkundige rij met r = 8 en  de volgende is  820
S = (820 - 1)/(8 - 1) =  1,65 • 1017    

Als elk vierkant een seconde zou duren, dan is dat meer dan 5.000.000.000 jaar achter elkaar doorverven.
Dat zal wel niet lukken......   
       
5. De rij wordt:   80  -  0,85 • 80  -  0,852 • 80  -  0,853 • 80  -  .....
Dat is een meetkundige rij met reden 0,85.
Als je alsmaar doorgaat, dan gaat de volgende naar nul.
S = (0 - 80)/(0,85 - 1) = 5331/3 cm.

(alhoewel natuurlijk volgens deze rij de bal nooit is uitgestuiterd!!)
       
6. a. Elke volgende figuur is een verkleining van de vorige, dus is er gelijkvormig mee.
Wat dan voor de eerste de ideale plaats van dat volgende middelpunt is, is voor de volgende precies zo wéér de ideale plaats.
       
  b. Zie de figuur hiernaast.

Pythagoras:  rn2 =  (crn)2 + rn + 12 
rn2c2rn2 + rn + 12 
rn2c2rn2  =  rn + 12 
rn2 ( 1 -  c2 )  =  rn + 12
rn • (1 - c2) = rn + 1
     
  c. de afstand is   A =  cr1 + cr2 + .... + cr10 
A = c • (r1 + r2 + ... + r10)
De r-waarden vormen een meetkundige rij met reden (1 - c2)
De volgende is   r11 =  10 • ((1 - c2 )10 
De som is   (10 • ((1 - c2 )10 - 10)/((1 - c2) - 1)
De afstand is dan 10 c • ((1 - c2 )5 - 1)/((1 - c2) - 1)
    Invoeren n Y1 van de GR en dan calc - maximum geeft x =  c = 0,4721  en  afstand  y = 28,56
       
7. a. De aantallen afgeschoten konijnen zijn:  640 -  640 • 0,8  -  640 • 0,82  -   .......
Dat is een meetkundige rij met reden 0,8.
mode - seq
nMin = 1
un = u(n - 1) • 0,8
u(nMin) = 640
TABLE en dan kijken wanneer dat voor het eerst minder dan 80 is:   n = 11
       
  b. De volgende term (dag 16) is  640 • 0,815 = 22,52
S15 = (22,52 - 640)/(0,8 - 1) = 3087  konijnen
       
  c. Er zijn minder dan 11900 konijnen als hij er in totaal  minstens 3100 heeft afgeschoten
Sn = (640 • 0,8n - 640)/(0,8 - 1)
Invoeren inY1 van de rekenmachine en dan bij TABLE kijken wanneer dat er meer dan 3100 zijn
Dat is vanaf dag 16 
       
  d. Soneindig = (0 - 640)/(0,8 - 1) = 3200
Dan blijven er dus  15000 - 3200 = 11800 over.
       
8. 20% minder betekent nog 80% van de vorige slag.
De afstanden zijn dan  180  -  180 • 0,8  -  180 • 0,82  -  180 • 0,83  -  ....
Dat is een meetkundige rijm met reden r = 0,8
Soneindig(0 - 180)/(0,8 - 1) = 895 cm
       
9. a. Als een vierkant ribben x heeft,  dan geldt voor de zijden van het volgende vierkant: (zie de figuur):  y2 = (0,5x)2 + (0,5x)2
y2 = 0,25x2 + 0,25x2
y2 = 0,5x2
y = 0,5 • x
Als de zijden 0,5 keer zo groot worden, dan wordt de omtrek dat ook.

De reden  r  van de rij is dus  0,5 = 1/22
Vandaar de gegeven recursievergelijking.
       
  b. u1 = 4 • 16 = 64
u0 zou dan   64/0,5 = 8192 zijn
un = 8192 • (0,52)n  

Y1 = (8192) • (0,5(2))^X
Kijk bij TABLE wanneer dat voor het eerst kleiner is dan 0,0001 is. Dat geeft  n = 40
       
  c. Soneindig(0 - 16)/(0,52 - 1)  = 54,63 cm
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)