© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 8  - 10  -  16  -  26  -  40  -  58  -  ...
de verschilrij is   2 - 6 - 10 - 14 - 18
de formule daarvan is  Δun = 4n - 6
dan is een recuersievergelijking  un = un - 1 + 4n - 6
       
  b. 50  -  54  -   57  -  59  -  60  -  60  -  59  -  .....
de verschilrij is   4 - 3 - 2 - 1 - 0 - .....
de formule daarvan is  Δun = -n + 6
dan is een recursievergelijking  un = un - 1  - n + 6
       
  c. 0  -  1/2  -  5/6  -  13/12  -  77/60  -  87/60  -  ...
de verschilrij is   1/2 - 1/3 - 1/4 - 1/5 - 1/6 - .....
de formule daarvan is  Δun = 1/n
dan is een recursievergelijking  un = un - 1 + 1/n
       
  d. 1  -  9  -  36  -  100  -  225  -  ....
de verschilrij is   8 - 27 - 64 - 125 - .....
de formule daarvan is  Δun = n3
dan is een recursievergelijking  un = un - 1 + n3
       
2. un = n2 + n  dus  un - 1 = (n - 1)2 + (n - 1)
 Δun =   unun - 1 = (n2 + n) - ((n - 1)2 + (n - 1))
= n2 + n - (n2 - 2n + 1 + n - 1)
=
n2 + n - n2 + 2n - 1 - n  + 1
= 2n 
       
3. de recursievergelijking is  un = un - 11/(n - n≤)  en  u1 = 1
Dat geeft de rij   1/1 - 3/2 - 5/3 - 7/4 - 9/5
Voor de tellers geldt  Tn = 2n - 1
Voor de noemers geldt   Nn = n
De directe formule voor de rij breuken is dan   un
= (2n - 1)/n = 2 - 1/n
       
4. a de rij is   1 - 5 - 14 - 30 - 55
de verschilrij is dan   4 - 9 - 16 - 25  en dat zijn precies de kwadraten!
Noem de eerste u1  dan is  Δun = n2
       
  b. un = un - 1Dun  en met het resultaat van a) geeft dat  un = un - 1 + n2 
       
  c. mode seq
nMin = 1
u(n) = u(n - 1) + n2
u(nMin) = 1
TABLE geeft bij n = 100 dat er 338350 vierkanten zijn op een plein van 100 bij 100
       
5. a. Sn = 1 + 4 + 9 + ... + n2
verschilrij:  ΔSn = n2
Dan is  Sn = Sn - 1 + n2  
mode seq
nMin = 1
u(n) = u(n - 1) + n2
u(nMin) = 1
TABLE geeft bij  n = 57 een waarde 63365, dus er waren 57 lagen.
       
  b. Halverwege het aantal kratten was  31682,5 kratten
TABLE geeft bij n = 45 ongeveer 30000 kratten
ze hadden dus al 57 - 45 = 12 lagen gedaan, en moesten er nog 45.
dat is 12/57 ē 100% = 21% van de hoogte
       
6. de rij is  2 - 7 - 15 - 26 -
de verschilrij is  5 - 8 - 11 -   en dat is een rekenkundige rij met directe formule  Δun = 3n - 1
dan is  un = un - 1 + 3n - 1  met  u1 = 2

mode - seq
nMin = 1
u(n) = u(n - 1) + 3n - 1
u(nMin) = 2

TABLE geeft bij n = 50  dat er  3775 kaarten voor het 50e huis nodig zijn.
       
7. un = n2 - 3n
un
- 1 = (n - 1)2 - 3(n - 1) = n2 - 2n + 1 - 3n + 3  =  n2 - 5n + 4
vn = un - un - 1n2 - 3n - (n2 - 5n + 4) = 2n - 4
Dat is de directe formule van een rekenkundige rij (steeds 2 erbij)
       
8. a. 1 lijn:  2 vlakdelen
2 lijnen:  4 vlakdelen
3 lijnen:  7 vlakdelen
4 lijnen:  11 vlakdelen
 
       
  b. Elk snijpunt voegt een vlakdeel toe; namelijk het gebied waar de nieuwe lijn doorheen loopt wordt in tweeŽn verdeeld, dus wordt 2 vlakdelen in plaats van 1.
Dus het nieuwe aantal vlakdelen is het oude plus het aantal snijpunten.
       
  c. mode seq
nMin = 1
u(n) = u(n - 1) + n
u
(nMin) = 2

TABLE bij n = 10 geeft  56 vlakdelen.
 
       
9. a. 4 → 4 → 8 → 16 → 28 → 44 → 64 → ...
verschilrij:   0 → 4 → 8 → 12 → 16 → 20  → .....
verschil van verschil:   4 → 4 → 4 → 4 → 4  →  .....
dus 2a = 4  dus  a = 2

De rij  un - 2n2 wordt:   4 → 2 → 0 → -2  → -4  →  -6  → -8 → .....
Dat is het lineaire verband  un = -2n + 4
De kwadratische formule is  un = 2n2 - 2n + 4
       
  b. 1→  5 → 10 → 16 → 23 → 54 → 63 → ...
verschilrij   4 → 5 → 6  → 7 → 21 → 9
verschil van verschil   1  → 1  →  1  →  14 →  -12 → .....
Dat is n iet constant dus geen lineaire formule. 
       
  c. 6 → 71 → 126 → 171 → 206 → 231 → 246 → ...
verschilrij:  65  →  55 →  45  →  35  →  25   → 15   → .....
verschil van verschil:   -10    -10    -10   -10    -10  .....
2a = -10  dus  a = -5

De rij un + 5n2  wordt:
  76  146  216    286   356    426
Dat is het lineaire verband  un = 70n + 6
De kwadratische formule wordt dan   un = -5n2 + 70n + 6
       
  d. 10 → 20 → 54 → 112 → 194 → 300 → 430 → ....
verschilrij:   10  →  34  →  58  →  82  →  106  →  130 → ...
verschil van verschil    24  →  24  →  24  →  24  →  24 → .....
2a = 24  dus  a = 12

De rij un - 12n2 wordt:
10  →  8  →  6  →  4  →  2  →  0  →  -2
Dat is het lineaire verband  un = -2n + 10
De kwadratische formule wordt dan  un =  12n2 - 2n + 10
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)