© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. unun - 1 • 1,04   met u0 = 400 is de recursievergelijking.
Dat geeft directe vergelijking  un = 400 • 1,04n
       
  b. un is het reactievermogen en n het aantal gedronken glazen alcohol.
un
= un - 1 + 0,2  met u0 = 0,8 is de recursievergelijking
Dat geeft directe vergelijking  un =  0,8 + 0,2n
       
  c. un is het aantal snoepjes dat hij heeft en n is het aantal dagen.
un
= un - 1 - 7  met u0 = 126 is de recursievergelijking
Dat geeft directe vergelijking  un =  126 - 7n
       
  d. un is het aantal korrels, n het veldnummer
un = un  - 1 • 2  met u1 = 1  is de recursievergelijking
Dat geeft de directe vergelijking  un = 0,5 • 2n
       
  e. un is het aantal donaties, n het aantal uitzendingen
un = un  - 1 • 0,9  want 10% kleiner betekent 90% over,  met u1 = 45000  is de recursievergelijking
Dat geeft de directe vergelijking  un = 50000 • 0,9n
       
  f. un is het bedrag, n het aantal rondjes
un = un  - 1 + 0,15,  met u0 = 4  is de recursievergelijking
Dat geeft de directe vergelijking  un = 4 + 0,15n
       
  g. un is het bedrag, n het aantal rondjes
un = 0,98 • un  - 1,  met u0 = 35000  is de recursievergelijking
Dat geeft de directe vergelijking  un = 35000 • 0,98n
       
2. a. un = un - 1 + 14 met u0 = 12   geeft directe vergelijking  un = 12 + 14n
met u1 = 12 geeft dat  un = -2 + 14n
       
  b. un = un - 1 • 1,5  met u0 = 40  geeft directe vergelijking  un = 40 • 1,5n  
met u1 = 40 geeft het  un = 262/3 • 1,5n
       
3. a. 256 • r12 = 512  dus  r12 = 2  en dan is  r = 21/12 = 1,059
u
1 = 256  dus  u0 256/1,059 = 241,63
Dat geeft  un = 241,63 • 1,059n   
       
  b. De A is nummer 10, dus  u10 = 241,63 • 1,05910 =  430,5 Hz
       
4. a. Bekijk de hoek die de wijzer met de lijn omhoog naar de 12 maakt. De wijzers staan op dezelfde plaats als hun hoek gelijk is, of een aantal keer 360Ί verschilt.

De grote wijzer legt  in 1 uur 360Ί af
De kleine wijzer legt in 1 uur  30Ί af
Per uur haalt de grote wijzer de kleine dus 330Ί  in
Om 360Ί in te halen is dus  360/330 uur nodig en dat is  60 • 360/330 = 720/11 minuten

Als de wijzers op een bepaald moment un  gelijk staan, dan staan ze dus  720/11 minuten later weer gelijk.
Daarom is  tntn-1 + 720/11 
       
  b. t0 = 0
tn720/11 • n
       
5. a. B/L0,5L/B
0,5L2 = B2
L2 = 2B2
L = (2B2) = B • 2

Dus als de breedte Bn is en de lengte L,  dan is de volgende breedte Bn + 1 = L = Bn • 2
       
  b. 1 m2 = 1000000 mm2
L0 • B0 = 1000000
B0 • 2 • B0 = 1000000
B02 = 1000000/2 = 707107
B0 = (707107) = 841 mm
Dan is  L0 = 841 • 2 = 1189 mm
       
  c. Ln = Ln - 1 • 2  met  L0 = 1189  geeft  Ln = 1189 • (2)n
       
  d. On = 1/2 • On-1  met  O0 = 1
mode seq
nmin = 0
u(n) = 0,5 • u(n - 1)
u(nMin) = 1
1 mm2 = 0,000001 m2
TABLE geeft dan bij n = 20 voor het eerste een waarde kleiner dan 0,000001
       
  e. O0 = 1  dus  On = 1 • 0,5n
1 • 0,519 = 0,0000019  en dat is meer dan 0,0000001
1 • 0,520 = 0,00000095 en dat is minder dan 0,000001
Dat klopt dus.
       
6. a. u4 • r3 = u7
162 • r3 = 4374
r3 = 4374/162 = 27
r = 3

u9 = u7 • r2 = 4364 • 32  = 39276
       
  b. u4 + 3a = u7
162 + 3a = 4374
3a = 4212
a = 1404

u9 = u7 + 2a = 4374 + 2 • 1404 = 7182
 
       
7. a. drie opvolgende termen zijn  u en ru  en m r2u

Dan is hun product  u • ru • r2u = r3u3  = 1/8  dat geeft  (ru)3 = 1/8  dus  ru = 1/2  dus  u = 1/2r

Dan is hun som  u + ru + r2u = u(1 + r + r2) = 7/4
Vul nu in  u = 1/2r  dan krijg je  1/2r • (1 + r + r2) = 7/4
 
1 + r + r27/4 • 2r
4 + 4r + 4r2 = 14r
4r2 - 10r + 4 = 0
r2 - 21/2r + 1 = 0
(r - 2)(r - 1/2) = 0
r = 2 ∨ r = 1/2

Eerste mogelijkheid:    r = 2  en u1/4  en de drie termen   1/4, 1/2 en 1
Tweede mogelijkheid:  r = 1/2 en u = 1   en weer de drie termen  1, 1/2 en 1/
       
  b. drie opvolgende termen zijn dan  u en u + a  en u + 2a

Dan is hun som  u + u + a + u + 2a = 3u + 3a =  7/4  dus u + a = 7/12  dus
de middelste term is dus 7/12 en de termen zijn dan  7/12 - a, 7/12 en 7/12 + a

Dan is hun product  (7/12 - a) • 7/12 • (7/12 + a) = 1/8
(7/12 - a)(7/12 + a) = 3/14
49/144 - a2 = 3/14
a2 = 127/1008
a = (127/1008) = 0,3549

De termen zijn ongeveer   0,2284  en  7/12  en 0,9383 
       
8. a. kijk alleen naar de vrouwtjes:
maand 0:  20
maand 1:  20 oud + 100 nieuw = 120 totaal
maand 2:  120 oud + 600 nieuw = 720 totaal
elke keer wordt vermenigvuldigd met 6, dus is de rij meetkundig en de reden is r = 6
       
  b. Er zijn steeds evenveel mannetjes als vrouwtjes, dus het totaal aantal is altijd het dubbele van het aantal vrouwtjes.
Als iets met 6 wordt vermenigvuldigd, dan wordt het dubbele daarvan σσk met 6 vermenigvuldigd!
       
  c. Met A ratten zijn er 0,5A vrouwtjes
Die krijgen 0,5A • N nakomelingen
Het nieuwe aantal ratten is dan  A + 0,5AN = A • (1 + 0,5N)
Dus  An = An - 1 • (1 + 0,5N)
De reden is (1 + 0,5N) en de beginwaarde is B.
Dan is een directe formule  An = B • rn = B • (1 + 0,5N)n
       
  d. De nestgroottes worden steeds met 5 vermenigvuldigd, dus de reden van de rij is 5.
Dan is 1 + 0,5N = 5
Dat geeft  N = 8
       
9. a. tellers:  steeds  +3 dus een rekenkundige rij met beginwaarde T1 =
en dan is de directe formule  Tn =  1 + 3n

noemers:  steeds  +5 dus een rekenkundige rij met beginwaarde N1 =
en dan is de directe formule  Nn =  4 + 5n
       
  b. BnT/N = (1 + 3n)/(4 + 5n)
       
  c. Als n groter wordt, gaat dit langzaam naar 3/5 toe want de 1 en de 4 doen er dan niet zoveel meer toe.
Y1 = (1 + 3X)/(4 + 5X)
Kijk in de tabel wanneer dat groter dan 0,59 wordt.
Dat is voor het eerst bij n = 28
Vanaf n = 28 verschilt un  minder dan 0,01 van de grenswaarde 0,6.
       
10. x, y, z is dan de rij  x, rx, r2x
x
, 2y, 3z is dan de rij   x, 2rx, 3r2x  en dat moet rekenkundig zijn.
Dus moet gelden   2rx - x  = 3r2x - 2rx
x
(2r - 1) = x(3r2 - 2r)
2r - 1 = 3r2 - 2r     (we laten de flauwe oplossing  x = y = z = 0 buiten beschouwing)
3r2 - 4r + 1 = 0
ABC-formule:  r = (4 ± √(16 - 12))/6 = (4 ± 2)/6  = 1  of  1/3
       
11. De eerste drie termen zijn u1, u1 + a  en  u1 + 2a
Dat is samen 12, dus  3u1 + 3a = 12  dus  u1 + a = 4  dus  u1 = 4 - a

u1 - u2 - u6  is het rijtje   u1  en  u1 + a  en  u1 + 5a
Dat is meetkundig, dus   (u1 + a)/u1  =  (u1 + 5a)/(u1 + a)   
Dat geeft  (u1 + a)(u1 + a) = (u1 + 5a) • u1
Gebruik nu dat u1 = 4 - a, dan vind je:    16 = (4 + 4a)(4 - a)
16 = 16 + 12a - 4a2
4a2 - 12a = 0
4a(a - 3) = 0
a = 0  ∨  a = 3

a = 0  geeft het rijtje  4 - 4  - 4  - .....  en dan is u10 = 4
a = 3 geeft het rijtje:   1 - 4 - 7 - 10 - ..... en dan is u10 =  28
       
12. a.  
   

   
       
  b. de rij wordt  u0 - u1 - u2 - u0 - u1 - u2 - .....
u2010 = u0   want 2010 is een drievoud.
Dan is u2012 = u2 = (u0 - 1)/u0 = (2 - 1)/2 = 1/2  
       
13.  u(n) = 92-n • 4n + 1 
=  92 • 9-n • 4n • 41
=  81 • (9-1)n • 4n • 4
=
 324 • (9-1 • 4)n
= 324 • (4/9)n 

Dat is inderdaad de directe formule voor een meetkundige rij, met   B = 324  en  r = 4/9
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)