© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Bekijk de afgeleides van 1/x2  = x-2   rondom, x = -1
  f (0) = 1/x2  dus  f (0)(-1) = 1

f
(1) = -2x-3 =  -2!/x3    dus  f (1) (-1) = 2!

f
(2) = 6x-4  = 3!/x4   dus f (2)(-1) = 3!

f
(3) = -24x-5 = -4!/x5  dus  f (3)(-1) = 4!

enz.

conclusie:    f (n)(-1) = (n + 1)!

Dat geeft in de Taylorreeks:   f(x) = 2!/1! • (x + 1)1  +  3!/2! • (x + 1)2 + 4!/3! • (x + 1)3  +   ....
f(x) =  2 • (x + 1)1 + 3 • (x + 1)2  + 4 • (x + 1)3 +   ....
en dat is inderdaad de gegeven  reeks.  
       
2. a. f (0)(x) = lnx  dus  f (0)(1) ln1 = 0
f (1)(x) = 1/x  dus  f (1)(1) = 1
f (2)(x) = -1/x2  dus  f (2)(1) = -1!
f (3)(x) = 2/x3  dus  f (3)(1) = 2  = 2!
f (5)(x) = -6/x4  dus  f (5)(1) = -6 = -3!
enz.

f
(n)(1) =  (-1)n+1 • (n - 2)!
 
    Dan wordt de Taylorreeks:  
   
    Daarbij is gebruikt dat  n! = n • (n - 1) • (n - 2)!
       
  b. f (0)(x) = e-x  dus  f (0)(3) =  e-3
f (1)(x) = -e-x  dus  f (1)(3) = -e-3
f (2)(x) =  e-x  dus  f (2)(3) = e-3
enz.

f (n)(3) = (-1)n • e-3 
Dan wordt de Taylorreeks:
   
       
3. f (0)(x) = excosx  dus  f(0)(0) =  e0cos0 = 1
f (1)(x) =  excosx - exsinx  dus  f (1)(0) = 1
f (2)(x) =  excosx - exsinx - exsinx - excosx = -2exsinx dus  f (2)(0) = 0
f (3)(x) =  -2exsinx - 2excosx dus  f (3)(0) = -2
f (4)(x) = -2exsinx - 2excosx - 2excosx + 2exsinx = -4excosx   dus f (4)(0) = -4 
       
 
       
4. a. f (0) (x) = ln(1 + x)  dus  f (0)(0) = 0
f (1) (x) = (1 + x)-1   dus  f (1) (0) = 1
f (2)(x) = -(1 + x)-2  dus  f (2) (0) = -1
f (3) (x) = 2(1 + x)-3  dus  f (3) (0) = 2
f (4) (x) = -2 • 3 (1 + x)-4  dus  f (4)(0) = -2 • 3
f (5) (x) = 2 • 3 • 4 (1 + x)-5  dus  f (5) (0) = 2 • 3 • 4
enz. 
Die afgeleiden vallen steeds, op één factor na, weg tegen de faculteiten:
    f(x) = x - 1/2x2 + 1/3x3 - 1/4x4 + 1/5x5 - 1/6x6 + ....
     
  b.
    dus  1/(1 + x) = 1 - x + x2 - x3 + x4  - ...
primitiveren:   ln(1 + x) = x - 1/2x2 + 1/3x3 - 1/4x4 + 1/5x5 - 1/6x6 + ....
       
5. De MacLaurinreeks ziet er zó uit:
 

 

  En die laatste limiet is nul (dus  < 1) voor alle x ∈ R
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)