h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
       
    Voor n naar oneindig gaat dit naar 0,5  (de laatste twee termen gaan naar nul)
De rij convergeert dus.
       
       
  b.
       
    Voor n naar omeindig gaat dit naar 0, dus de rij convergeert.  
       
  c.
       
    Voor n naar oneindig gaat dit ook naar oneindig, dus de rij divergeert.
       
2. a.
       
    Voor n naar oneindig gaat de absolute waarde daarvan naar 5, dus de rij divergeert
       
  b.  
       
    Voor n naar oneindig gaat  n1/n naar 1, dus de absolute waarde van deze term gaat naar 0,5/4 = 0,125
Dat is kleiner dan 1, dus de rij convergeert
       
  c.
       
    Voor n naar oneindig gaat  n1/n naar 1, dus deze term gaat naar 1 0,5 = 0,5
Dat is kleiner dan 1, dus de rij convergeert
       
  d.

    Dus de rij convergeert.  
       
  e.

    Dus de rij convergeert.
       
3. Als  d'Alembert  L = 1 levert dan betekent dat, dat  u/ un+1  1 
(
  betekent "gaat naar"  ofwel:  "komt willekeurig dicht bij")

Stel nu dat je bij Cauchy zou vinden dat  (un)1/n 
  L2  (met L2 niet 1, en L2 groter dan nul)
dan geldt  un
L2n   en   un + 1    L2n + 1
 
  Kortom:  de L bij Cauchy zal ook 1 zijn!!
       
4. Gebruik d'Alembert.
Als de rij convergeert dan gaat  un + 1 / un  naar een getal L  (niet 1) 
 
  Omdat 1 + 1/n naar 1 gaat,  gaat dit laatste naar  un + 1 / un  dus ook naar L.
       
5. De factoren worden achtereenvolgens:
b/a
a
2/b = a (a/b)
b
2/a2 = (b/a)2
a
3/b2 = a (a/b)2
b3/a3 = (b/a)3
enz.

De blauwe serie vormt een meetkundige rij met reden r = b/a  > 1 dus die divergeert
De rode serie vormt een meetkundige rij met reden r = a/b  < 1 dus die convergeert
De rij blijft om-en-om rood en blauw, dus dat gaat niet naar een vaste waarde L.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)