h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1, SQ2 = 62 + 42  dus  SQ = 42

tan (SQT) = (4/6)  geeft  ∠SQT = 33,69

sinα = 9/10  geeft  α =  64,16

Dan is ∠SQR = 180 - 33,69 - 64,16 = 82,15

cosinusregel:  x2 = 42 + 64 - 2 42 8 cos82,15
x
2 = 92,45
x
= 9,62 m

       
2. zie de schets hiernaast.

cosinusregel:
x2 = 82 + 92,582 - 2 8 92,58 cos(28,65)
x2 = 7335,137
x = 85,65

Het verschil is 107 cm
       
3. a. cosinusregel in driehoek M1M2M3;
(r + 2)2 = (r + 6)2 + 82 - 2 (r + 6) 8 cos(M1M2M3)
r2 + 4r + 4 = r2 + 12r + 36 + 64 - (16r + 96) cos(M1M2M3)
-8r - 96 =  -(16r + 96) cos(M1M2M3)
delen door -8:    r + 12 = (2r + 12)cos(M1M2M3)
cos(M1M2M3) = (r + 12)/(2r + 12)
       
  b. Als r naar oneindig nadert, dan nadert de cosinus tot 1/2.
Dan nadert de hoek naar 60
       
4. a. Teken lijnstuk AE loodrecht op BC.
cos50 = EB/250
EB = 250 cos50 = 160,69...
AD = BC - EB = 300 - 160,69... = 139,30...
Dat is inderdaad ongeveer 139 cm.

       
  b. Pythagoras:  AC2 = 1392 + 2922 = 104585  dus  AC = √104585 = 323,396....
Cosinusregel in driehoek ABC:
323,396...2 = 3002 + 2502 - 2 300 250 cosα
104585 = 152500 - 150000cosα
150000cosa = 47915
cosα = 0,3194...
α = 71,37...
Het is dus 71,37... - 50 = 21 toegenomen.
       
5. tweemaal de cosinusregel:
s2 = p2 + q2 - 2pqcos(β)
r2 = p2 + q2 - 2pqcos(α)

maar α + β + 2 90 = 360  dus  β = 180 - α
dan is  cos(β) = cos(180 - α) = -cosα
de eerste cosinusregel geeft dan  s2 = p2 + q2 + 2pqcosα

tel nu beide vergelijkingen bij elkaar op:  r2 + s2 = 2(p2 + q2 )
p2 + q2 = 1/2(r2 + s2)
links staat de oppervlakte van de lichtpaarse vierkanten, rechts staat de helft van de oppervlakte van de donkerpaarse vierkanten......
       
6. 82 = 52 + 112 - 2 5 11 cosA
64 = 146 - 110cosA
-82 = -110cosA
cosA = 0,74545...
A = 41,8018...

cosA = AD/5  dus  0,74545... = AD/5  dus  AD = 5 0,74545... = 3,727...
De driehoeken ADE en ABC zijn gelijkvormig  (F-hoeken)
 
AD
3,727...
DE
??
AE
 
AB
11
BC
8
AC
 
  DE = 8 3,727.../11 = 2,71
       
7. Noem de tophoek α
Dan geldt in de bovenste driehoek:  32 = 42 - 2
3 4 cosα  dus  cosα = 11/16

In de hele driehoek:   x2 = 82 + 112 - 2 8 11 cos α = 64
Dus x = 8
       
8. cosinusregel in ABM:
5 = 42 + 62 - 2 4 6 cosB
25 = 52 - 48cosB
48cosB = 27
cosB = 27/48
B = 55,77113...

cosinusregel in ABC
AC2 = 42 + 122 - 2 4 12 cos(55,77113...)
AC2 = 160 - 96 27/48
AC2 = 106
AC = √106 = 10,3
       
9. cosinusregel:  BF2 = 5422 + 4252 - 2 542 425 cos(58)
Dat geeft  ∠BF = 479,849...

sinusregel:  479,849/sin(58) = 542/sin(∠BAF)
dat geeft  sin(∠BAF) = 0,957...
Dan is ∠BAF = 73,31° 
Dat scheelt afgerond 2°
       
10.

  Bekijk eerst de lichtblauwe driehoek:
De hoek tussen  Hilversum-Naarden-Laren  is 180 - 90,9 - 49,3 = 39,8°
Sinusregel:   HN/sin(90,9) = 5060/sin39,8
Dat geeft HN = 7903,9...
Gebruik nu de cosinusregel in de driehoek Huizen-Hilversum-Naarden:

x2 = 48102  + 7903,92 - 2 4810 7903,9 cos(39,8 + 47,7)
Dat geeft  x =  9070 meter.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)