© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De basis van beiden is gelijk, want AM = AC
De hoogte van beiden is gelijk, namelijk de hoogtelijn van A op BC
Dus zijn de oppervlakten gelijk.
     
  b. Kies als basis PM
Dan is de hoogte van beiden de afstand tussen de evenwijdige lijnen PM en AN. Die is vanaf A natuurlijk gelijk aan vanaf N
     
  c. PNC = PNM + PMC
AMC = AMP + PMC
Omdat  PNM = AMP  (vraag b))  is dus ook PNC  = AMC en dat is volgens a) de helft van de driehoek ABC.
       
2.

       
  Alle grijze driehoekjes zijn nu even groot en elke figuur heeft er zes.
Dus X = Y = Z
       
3. Stel dat de hoogte van het trapezium h is, dan is de oppervlakte ervan  35h,  dus elk deel heeft oppervlakte 17,5h

driehoek DCE heeft oppervlakte  10h
driehoek EBC moet dus oppervlakte 7,5h hebben
Dus  EB = 15  dus  AE = 35

       
4. Haal eerst bij ieder hoekpunt een rechthoekige driehoek van het vierkant af.

De zijde van het vierkant is √80
De oppervlakte van zo'n driehoek is 
0,5 • (1/4√80) • (3/4√80) = 7,5
Dan  blijft er een nieuw vierkant met oppervlakte 80 - 4 • 7,5 = 50 over.

Het paarse gebied is daar de helft van, dus heeft oppervlakte 25.

       
5. Als de aangegeven lijnstukken hiernaast gelijk zijn aan x, dan zijn de zijden van de achthoek gelijk aan x√2

Het groene deel heeft oppervlakte  3 = x+  x2√2
3 = x2(1 + √2)

De middelste strook heeft oppervlakte (2x + x√2) • x√2
Dat is 2x2√2+ 2x2   = 2 • x2(1 + √2) en dat is precies tweemaal de groene oppervlakte.

De hele achthoek heeft dan oppervlakte 3 + 6 + 3 = 12

       
  Overigens:  in het plaatje hiernaast kun je in één keer zien dat de groene oppervlakte een kwart van de hele achthoek is.

       
6. zes driehoeken zijn samen 60
6 • 0,5xh = 60
xh = 20
AB • CD = 2x • 2h = 4xh = 80

       
7. ABE en ADE hebben dezelfde hoogte (met AD als basis) dus de oppervlakte van ADE is 36/10 keer zo groot als die van ABE

ABE en ABC hebben dezelfde hoogte (met AC als basis) dus de oppervlakte van ABC is 24/15 keer zo groot als die van ABE

De verhouding is dus  36/10  24/15  =  9 : 4
       
8. Neem basis PR en hoogte PQ
PQ is de helft van DC dus de oppervlakte van PQR is de helft van die van BCD

Dus de oppervlakte is een kwart van de rechthoek, dus 31/4.

       
9. Teken de diagonalen in de rechthoek; die verdelen ede rechthoek in vier delen.
In elk van die vier delen zie je twee gele en één groene driehoek die allemaal dezelfde oppervlakte hebben (namelijk dezelfde basis en hoogte)

Dus geel : groen = 2 : 1

       
10. Zie de figuur.

De driehoeken BDA en BDM zijn congruent (ZZR)

De oppervlakte van BDM is 0,5 • 9 • 4 = 18
De oppervlakte van BDA is ook 18
De oppervlakte van DMC is ook 18 (zelfde hoogte en zelfde basis als BMD)

De totale oppervlakte is dus 54.
       
11. Zie de figuur hiernaast de rode breuken geven aan hoeveelste deel het lijnstuk van de zijde van de rechthoek is.

driehoek ADM1:   1/2 • 1/2 • 1 = 1/4
driehoek AM2B:  1/2 • 1 • 1/2 = 1/4
driehoek BM3C:  1/2 • 1 • 3/8 = 3/16
driehoek M1M4C:  1/2 • 1/2 • 3/8 = 3/32

Samen is dat 25/32 van de rechthoek, dus M1M2M3M4 is 7/32 van de rechthoek,. 

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)