h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.      
 

       
  1.1. hele oppervlakte is 4 3 = 12
a:  1
b:  2
c:  4
Dan blijft over  12 - 1 - 2 - 4 = 5
       
  1.2. f + d is samen 18.
f is dan 18 - d = 18 - 1/4 π  32 = 18 - 21/4π
e is  1/2 π 32 = 41/2π
Samen geeft dat  18 - 21/4π + 41/2π = 18 + 21/4π
       
  1.3. hele oppervlakte is  7 7 = 49
g : 71/2
h
: 6
i
: 3
j
: 8
k
: 14
Dan blijft over 49 - 71/2 - 6 - 3 - 8 - 14 = 101/2
       
  1.4. grote halve cirkel:  1/2 π 32 = 41/2π
kleine halve cirkel:  1/2 π 12 = 1/2π
Dan blijft over  41/2π - 1/2π = 4π
       
  1.5. rode rechthoek:  18
l : 41/2
m:  9
n1/2 π 22 = 2π
Dat geeft samen  18 - 41/2 - 9 + 2π = 41/2 + 2π 
       
  1.6. rode rechthoek:  40
a:  71/2
b:  121/2
c1/2 π 22 = 2π
dat geeft  40 - 71/2 - 121/2 - 2π + 1/2 π 12 = 20 - 11/2π
       
  1.7. rode rechthoek :  80
o:  24
p
:  7
q:  3
r:  7,5
blauwe rechthoek:    15
s:  1
t
:  6
u
:  21/2
het gat is dan  15 - 1 - 6 - 21/2 = 51/2
De oppervlakte is dan  80 - 24 - 7 - 3 - 71/2 - 51/2 = 33
       
  1.8. hele rechthoek:  56
v:  10
w
:  3
x
1/2 π 11/22 = 9/8π
dat geeft dan  56 - 10 - 3 - 9/8π = 43 - 9/8π
       
  1.9. rode rechthoek:  16
2 stukjes y:  2 3 = 6
z1/2 π 12 = 1/2π
halve cirkel:  1/2 π 42 = 8π
Dat geeft  16 + 8π - 6 - 1/2π  =  10 + 71/2π
       
2. a + c
heel vierkant min een kwartcirkel
1 - 1/4 π 12 = 1 - 1/4π

b:  vierkant van 2 bij 2 min een kwartcirkel
4 - 1/4 π 22  = 4 - π

e en f:   oppervlakte 1

g en h:  beiden een kwartcirkel:  1/4 π 12 = 1/4π

d
:  kwartcirkel:  1/4 π 22 = π

samen: 
1 - 1/4π + 1 - 1/4π + 4 - π + 1 + 1 + 1/4π + 1/4π + π  = 8
       
3. Trek lijnstukken vanaf alle hoekpunten naar het midden.
Een hoek in het midden is  40
tan 20 = 2/h  geeft  h = 5,49  voor de hoogte van een driehoek
de oppervlakte van zo'n driehoek is dan 0,5 4 5,49 = 10,99
de hele negenhoek heeft dan oppervlakte 9 10,99 = 98,91
       
4. de linker groene driehoek heeft oppervlakte 1/2 2 h
de rechter groene driehoek heeft oppervlakte  1/2 3 h
samen is dat  2,5h
de hele rechthoek heeft oppervlakte 6h

dat is  2,5/6 100% = 42%

       
5. De blauwe hoek is 30
Als het blauwe hoogtelijntje lengte h heeft, dan geldt: 
tan30 = h/2,5
h = 2,5 tan30 = 2,5 1/33
De oppervlakte van de witte driehoek bovenaan is dan
 1/2 5 21/2 1/33 = 25/123

De hele zeshoek bestaat uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden 5 (zie de rode lijnen)
Zo'n driehoek heeft hoogte H:   H2 = 52 - 2,52
H = 18,75
De oppervlakte is dan  6 1/2 5 18,75 = 1518,75

       
  Voor de ster blijft dan over:  1518,75 - 6 25/123 = 43,30
     
  Zie de figuur hiernaast.
de ruit ABCD is 1/3 deel van de zeshoek.
de driehoek ACD is de helft van de ruit, dus 1/6 deel van de zeshoek.
De driehoekjes a, b. en c zijn even groot (zelfde basis en zelfde hoogte) dus elk is 1/18 deel van de zeshoek.

Van de hele zeshoek gaan zes driehoekjes van 1/18 af,
dus blijft over 1 - 6/18 = 1 - 1/3 = 2/3 deel.

       
6. Zie de figuur hiernaast. Daar staan allemaal 1-1-2 driehoeken.

In de linkerfiguur is de oppervlakte van het vierkant x2 en de oppervlakte van de driehoek 1/2 2x 2x = 2x2
Het vierkant is de helft van de driehoek.

In de rechterfiguur is de oppervlakte van het vierkant y2 en de oppervlakte van de driehoek  1/2 (y2 + y/2)2
y/
2 = 1/2y2, dus dat geeft voor de oppervlakte:
 
1/2 (11/2y2)2 = 1/2 21/4y2 2 = 21/4y2
Het vierkant is  1/2,25 = 4/9 deel van de driehoek.
       
  De verhouding tussen beide manieren is  1/2 : 4/9  = 1 : 8/9  =  8 : 9
       
7.

       
  A:  2/8 deel
B:  2/8 deel
C:  2/8 deel
Het is allemaal 2/8 deel van het hele vierkant, dus de verhoudingen zijn 1 : 1 : 1
       
8. Stel FH = FG = x
Driehoeken  BHF en BAE zijn gelijkvormig.
 

     
 
BH
 
HF
x
BF
 
BA
4
AE
6
BE
 
     
  Daaruit volgt  BH = 4 x/6
Maar ook is  BH = 4 - (AB - GF)
2/3x = 4 - x
12/3x = 4
x = 2,4
       
  Oppervlakte CBE = 1/2 2 6 = 6
Oppervlakte CBF = 1/2 2 2,4 = 2,4
Oppervlakte CFE = 6 - 2,4 = 3,6
       
9. Zie de figuur hiernaast. Die gekleurde delen komen aan elkaar dus moeten even lang zijn.

3(18 - x) = 18
54  - 3x = 18
x
= 12

2y = 8
y
= 4

Het wordt bij herrangschikken inderdaad een vierkant van 12 bij 12. 

       
  OF (veel sneller):
De oppervlakte van de rechthoek is 8 18 = 144
De oppervlakte van het vierkant dus ook, dus de zijden zijn 12.
       
10. Teken in de driehoek ABC alle drie de hoogtelijnen.
Je ziet dat het groene deel 1/3 van de driehoek is.
Maar die driehoek is 1/6 van de zeshoek.
Het groene deel is dus  1/3 1/6 = 1/18 van de zeshoek.
Dat is 55/9%

       
   

 

   

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)