h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  x2 + y2 + 2x + y - 16 = 0  
Vul M(-2, -10) in:   4 + 100  - 4 - 10 - 16 = 74  dus die cirkel heeft straal 74.
Met middelpunt  (-2, -10) geeft dat de vergelijking  (x + 2)2 + (y +10)2 = 74
       
2. x2 + y2 - 2x + 2y = 18
x2 - 2x + 1 - 1 + y2  + 2y + 1 - 1 = 18
(x - 1)2 + (y + 1)2 = 20
De cirkel heeft middelpunt M(1, -1) en straal 20

macht van M tov de andere cirkel:
12 + (-1)2 - 16 1 + 34 = 20 en dat is inderdaad  r2 
       
3. Stel het middelpunt  (0, m)
De macht t.o.v. de andere cirkel moet gelijk zijn aan 102 = 100
02 + m2 + 12 0 - 3m + 12 = 100
m2 - 3m - 88 = 0
(m - 11)(m + 8) = 0
m = 11 ∨  m = -8
Dat geeft mogelijke middelpunten  (0, 11) en (0, -8)
       
4. De oranje hoeken zijn gelijk: beiden omtrekshoek van koorde BD.
De groene hoeken zijn gelijk:  overstaande hoeken.
Dus de driehoeken APD en CPB zijn gelijkvormig

AP/PD = CP/PB
AP PB = CP PD
AP PB = (r + PM) (r - PM)
AP PB = r2 - PM2
Dat is inderdaad de macht van P, maar dan negatief.

       
5. AM MS = macht van M t.o.v. de linkercirkel = MB2
AM = 9
MS = 4 (straal cirkel)
9 4 = 36 = MB2
MB = 6

       
6. P heeft macht 4 t.o.v. c1  dus  P ligt op de cirkel  x2 + y2 = 12 + 4 = 14

x2 + y2 + 6x = 10
x2 + 6x + 9 - 9 + y2 = 10
(x + 3)2 + y2 = 19
P heeft macht 6 t.o.v. c2  dus  P ligt op de cirkel  (x + 3)2 + y2 = 19 + 6 = 25
Dat is de cirkel  x2 + 6x + y2 = 16

Snijden van beide cirkels:  14 + 6x = 16
6x = 2 ⇒ x = 1/3
(1/3)2 + y2 = 14  ⇒   y2 = 125/9 ⇒  y 5/35
       
7. a m12  staat loodrecht op M1M2
m23  staat loodrecht op M2M3
m13 staat loodrecht op M1M3
Als M1, M2 en M3 niet op n lijn liggen, dan hebben M1M2, M2M3 en M1M3 verschillende richtingen
Dus hebben m12 en m23 en m13 k verschillende richtingen, want die staan er loodrecht op.
Als de machtlijnen verschillende richtingen hebben moeten ze elkaar wel snijden.
       
  b. P  ligt op m12  dus  de macht van P tov  c1 is gelijk aan de macht van P tov c2
P ligt op m13  dus  de macht van P tov  c1 is gelijk aan de macht van P tov c3
Als de macht van P tov c1 aan twee dingen gelijk is, dan moeten die ook wel gelijk zijn aan elkaar
Dus de macht van P tov  c2 is gelijk aan de macht van P tov c3
Dus P ligt op m23
       
  c.

    c3 is willekeurig
m13 gaat door de snijpunten van c1 en c3
m23 gaat door de snijpunten van c2 en c3
De stelling zegt dat m12 dan door het snijpunt P van die beide machtlijnen moet gaan
Verder is bekend dat m12 loodrecht staat op M1M2.
Dus m12 is te tekenen:  de groene lijn.
       
  d. Neem de cirkels met middellijnen AC en BC.
Stel dat die elkaar behalve in C ook in S snijden.

∠ASC = 90 (Thales: AC is een middellijn)
∠BSC = 90 (Thales: BC is een middellijn)
Dus S ligt op de zijde AB maakt hoeken van 90 met AB, dus CS is de hoogtelijn vanuit C.
De machtslijn van twee cirkels is dus de hoogtelijn van de derde zijde.
Dus als de machtslijnen van de drie cirkels zijn de drie hoogtelijnen van de driehoek.
Volgens de stelling gaan die door n punt.
       
8. Stel dat de straal van de te tekenen cirkel gelijk is aan r en het middelpunt M
Dan is de macht van M t.o.v. c2 gelijk aan ren de macht van M t.o.v. c2 is ook r2 (vanwege het loodrecht snijden)
Als die machten gelijk zijn, dan ligt M op de machtslijn van beide cirkels.
Dat is de lijn  4x - 2y + 1 = 0

De cirkel gaat door A en moet c1 loodrecht snijden, dus de beide raaklijnen staan loodrecht op elkaar, dus ook MA en M1A staan loodrecht op elkaar.
Als MA loodrecht op M1A staat, is MA de raaklijn aan c1 in A.
x2 + y2 = 13 geeft afgeleide  2x + 2yy' = 0  dus  y ' = -x/y en in A is dat  y' = -2/3
De raaklijn is dus  y = -2/3x + 41/3

Invullen in de machtslijn:  4x - 2(-2/3x + 41/3) + 1 = 0
4x + 4/3x - 82/3 + 1 = 0
51/3x = 72/3
16x = 23  ⇒  x = 23/16   en dat geeft  y = 27/8 
r = MA = ((9/16)2 +  (-3/8)2) = (117/256) = 1/16117
de cirkel is dan   (x - 23/16)2 + (y - 27/8)2 = 117/256  
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)