© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. x2 + y2 - 6x - 10y + 12 = 0
x2 - 6x + 9 - 9 + y2 - 10y + 25 - 25 + 12 = 0
(x - 3)2 + (y - 5)2 = 22
M = (3, 5)  en  r = √22
       
  b. x2 + y2 + 2x - 4y = 20
x2 + 2x + 1 - 1 + y2 - 4y  + 4 - 4 = 20
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 25
M = (-1, 2)  en  r = 5
       
  c. 3x2 + 3y2 - 9x + 12y = 0
x2 + y2 - 3x + 4y = 0
x2 - 3x + 21/4 - 21/4 + y2 + 4y + 4 - 4 = 0
(x - 11/2)2 + (y + 2)2 = 61/4
M = (11/2, -2)  en  r = 21/2.
       
  d. x2 + y2 - 23  = 4x + 6y
x2 - 4x + y2 - 6y - 23 = 0
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 - 6y + 9 - 9 - 23 = 0
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 36
M = (2, 3) en  r = 6
       
2. a. x2 + y2 - 4x + 5y = p
x2 - 4x + 4 - 4 + y2 + 5y + 61/4 - 61/4 = p
(x - 2)2 + (y + 21/2)2 = p + 101/4
Dat is een cirkel als  p + 101/4 > 0 ⇒  p > -101/4
       
  b. x2 + px + y2 - 6y + 30 = 0
x2 + px + 1/4p2 - 1/4p2 + y2 - 6y + 9 - 9 + 30 = 0
(x + 1/2p)2 + (y - 3)2 = 1/4p2 - 21
Dat is een cirkel als  1/4p2 - 21 > 0
1/4p2 > 21
p2 > 84
p > √84  ∨  p < -√84
       
  c. 3x2 + 6x + py2 - 3y = 0
p = 3 anders zijn de factoren bij x2 en y2 niet gelijk.
3x2 + 6x + 3y2 - 3y = 0
x2 + 2x + y2 - y = 0
x2 + 2x + 1 - 1  + y2 - y + 1/4 - 1/4 = 0
(x + 1)2 + (y - 1/2)2 = 11/4
Het is voor p = 3 inderdaad een cirkel.
       
3. a. (x - 1)2 + (y - 2)2 = 13  met de lijn  y = 12 - 2x
y = 12 - 2x invullen:  (x - 1)2 + (10 - 2x)2 = 13
x2 - 2x + 1 + 100 - 40x + 4x2 = 13
5x2 - 42x + 88 = 0
x = (42 ± √(4))/10
x = 42/5  ∨  x = 4
Dat geeft  y = 12 - 2x ⇒  y = 4  of  y = 31/5
De snijpunten zijn  (4,4) en (42/5, 31/5)
       
  b. x2 + y2 + 6x - 2y = 10  met de lijn  y = 3x + 8
y = 3x + 8 invullen:   x2 + (3x + 8)2 + 6x - 2(3x + 8) = 10
x2 + 9x2 + 48x + 64 + 6x - 6x - 16 = 10
10x2 + 48x + 38 = 0
x = (-48 ± √(784))/20  
x = -34/5  ∨  x = -1
Dat geeft  y = 3x + 8 ⇒  y = -32/5  of  y = 5
De snijpunten zijn  (-1, 5) en (-34/5, -32/5)
       
  c. x2 + 4x = 29 - y2 - 4y  met de lijn  y = -2x + 5
y = -2x + 5 invullen:  x2 + 4x = 29 - (-2x + 5)2 - 4(-2x + 5)
x2 + 4x = 29 - 4x2 + 20x - 25 + 8x - 20
5x2 - 24x + 16 = 0
x = (24 ± √(256))/10
x = 4/5  ∨  x = 4
Dat geeft  y = -2x + 5 ⇒  y = 32/5  of  y = -3
De snijpunten zijn  (4/5, 32/5) en  (4, -3)
       
4. afstand  Ö10  tot het punt  (1,5) betekent dat het punt op de cirkel met middelpunt (1, 5) en straal √10 moet liggen.
dat is de cirkel  (x - 1)2 + (y - 5)2 = 10
 y = 2x + 4  invullen:  (x - 1)2 + (2x - 1)2 = 10
x2 - 2x + 1 + 4x2 - 4x + 1 = 10
5x2 - 6x - 8 = 0
x = (6 ± √(196))/10
x = -4/5   ∨  x = 2
Dat geeft  y = 2x + 4  ⇒   y = 22/5  y = 8
De gezochte punten zijn (-4/5, 22/5)  en  (2, 8)
       
5. a. y = 2x + p invullen in   x2 + (y - 3)2 = 5
x2 + (2x + p - 3)2 = 5
x2 + 4x2 + 4x(p - 3) + (p - 3)2 = 5
5x2 + x(4p - 12) + (p2 - 6p + 4) = 0
Dat heeft oplossingen als de discriminant groter dan nul is.

(4p - 12)2  - 20(p2 - 6p + 4) ³ 0
16p2 - 96p + 144 - 20p2 + 120p - 80 = 0
-4p2 + 24p + 64 = 0
p2 - 6p - 16 = 0
(p - 8)(p + 2) = 0
p = 8 ∨  p = -2
De vergelijking is dan groter dan of gelijk aan nul voor  -2 ≤ p ≤ 8
       
  b. y = x + 1  invullen in de cirkel   (x - p)2 + y2  = 8
(x - p)2 + (x + 1)2 = 8
x2 - 2px + p2 + x2 + 2x + 1 = 8
2x2 + x(2 - 2p) - 7 + p2 = 0
Als de lijn de cirkel raakt is er precies één oplossing, dus is de discriminant gelijk aan nul:
(2 - 2p)2 - 8(p2 - 7) = 0
4 - 8p + 4p2 - 8p2 + 56 = 0
4p2 + 8p - 60 = 0
p2 + 2p - 15 = 0
(p - 3)(p + 5) = 0
p = 3 ∨  p = -5
       
6. a. x2 - 2x + y2 = 17
x2 + 10x + 25 + y2 - 4y + 4 = 10
van elkaar aftrekken geeft  12x + 29 - 4y = -7
4y = 12x + 36
y = 3x + 9
invullen in de cirkel:   x2 - 2x + (3x + 9)2 = 17
x2 - 2x + 9x2 + 54x + 81 = 17
10x2 + 52x + 64 = 0
x = (-52 ± √(144))/20
x = -2 ∨  x = -31/5.
Dat geeft  y = 3 ∨  y = -3/5
De snijpunten zijn  (-2, 3) en (-31/5, -3/5)
       
  b. x2 + y2 - 4x = 16
x2 + y2 = 8x + 8y - 24
Trek ze van elkaar af:   4x = 8x + 8y - 40
-4x = 8y - 40
x = -2y + 10
invullen in een cirkel:  (-2y + 10)2 + y2 - 4(-2y + 10) = 16
4y2 - 40y + 100 + y2 + 8y - 40 = 16
5y2 - 32y + 44 = 0
y =  (32 ± √(144))/10
y = 42/5 ∨  y = 2
Dat geeft  x = 11/5  ∨  x = 6
De snijpunten zijn  (11/5, 42/5) en  (6, 2)
       
  c. x2 + y2 = 2x - 2y + 8
y2 + 8y + 16 + x2 = 8x - 12
Trek ze van elkaar af:   8y + 16 = 6x + 2y - 20
6y = 6x - 36
y = x - 6
invullen in een cirkel:   x2 + (x - 6)2 = 2x - 2(x - 6) + 8
x2 + x2 - 12x + 36 = 2x - 2x + 12 + 8
2x2 - 12x + 16 = 0
x2 - 6x + 8 = 0
(x - 2)(x - 4) = 0
x = 2 ∨  x = 4
Dat geeft  y = -4  ∨  y = -2
De snijpunten zijn (2, -4)  en  (4, -2)
       
     
7. a. x2 + y2 - 6x - 4y = 12  en  x2 + y2 + 12x - 28y = p
trek ze van elkaar af:   18x - 24y = p - 12
24y = 18x + 12 - p
y = 3/4x + 1/2 - p/24
Noem voor het gemak even   p/24 = q
invullen in een cirkel:
x2 + (3/4x + 1/2 - q)2 - 6x - 4(3/4x + 1/2 - q) = 12
x2 + 9/16x2 + 6/4x(1/2 - q) + (1/2 - q)2 - 6x - 3x - 2 + 4q = 12
25/16x2 + x(3/4 - 6/4q - 6 - 3) + ((1/2 - q)2 - 2 + 4q - 12) = 0
vermenigvuldig alles met 16:
25x2 + x(-132 - 24q) + (16(1/2 - q)2 - 224 + 64q) = 0
De discriminant moet gelijk zijn aan nul als ze elkaar raken:
(132 + 24q)2 - 100 • (16(1/2 - q)2 - 224 + 64q) = 0
17424 + 6336q + 576q2 - 100 • (4 - 16q + 16q2 - 224 + 64q)
17424 + 6336q + 576q2 - 400 + 1600q - 1600q2 + 22400 - 6400q = 0
-1024q2 + 1536q + 39424 = 0
q = (-1536 ± 12800)/-2048
q = -51/2 ∨  q = 7
Dat geeft  p = -132  ∨  p = 168
       
  b. x2 + y2 - 6x - 4y = 12
x2 - 6x + 9 - 9 + y2 - 4y + 4 - 4 = 12
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 25
Het middelpunt is dan  (3, 2)

x2 + y2 + 12x - 28y = p
x2 + 12x + 36 - 36 + y2 - 28y + 196 - 196 = p
(x + 6)2 + (y - 14)2 = p + 232 
Het middelpunt is dan  (-6, 14)

Lijn door beide middelpunten:  a = 12/-9 = -4/3
2 = - 4/3 • 3 + b geeft b = 6
De lijn is dan  y = -4/3x + 6

Invullen in een cirkel:
x2 + (-4/3x + 6)2 - 6x - 4(-4/3x + 6) = 12
x2 + 16/9x2 - 16x + 36 - 6x + 16/3x - 24 = 12
25/9x2 - 50/3x = 0
25x2 - 150x = 0
25x(x - 6) = 0
x = 0 ∨ x = 6
Dat geeft de raakpunten  (0, 6)  en  (6, -2) 
Cirkel 2 moet dan door die punten gaan, dus kun je ze invullen:

0 + 36 + 0 - 168 = p  ⇒   p = -132
36 + 4 + 72 + 56 = p  ⇒   p = 168
       
8. a. Noem de projectie van R op de x-as punt P.
PO = 4  (want c heeft middelpunt  (4, 5))
OT = p
Dus PT = 4 + p

RP = 5  (want c heeft middelpunt  (4,5))

Pythagoras:  RT2 = (4 + p)2 + 52 = 16 + 8p + p2 + 25 = p2 + 8p + 41
Dus RT = √(p2 + 8p + 41)
       
  b. c heeft straal 7 en d heeft straal 4.

Stel dat e straal r heeft,
dan is  RT = 7 + r  dus  r = RT - 7
en  ST = 4 + r  dus  r = ST - 4
Gelijkstellen:  √(p2 + 8p + 41) - 7 =  √( p2 - 28p + 260)  - 4

Y1 = √(X^2 + 8X + 41) - 7
Y2 = √(X^2 - 28X + 260)  - 4
intersect geeft  X = p = 8
Dus  r =  √(82 + 8 • 8 + 41) - 7
r = 6
       
9. a. geval 1.
Hoek A is recht als BC een middellijn is (Thales)  dus C = (0, 8)

geval 2.
De lijn door B loodrecht op AB heeft helling -2 (want AB heeft helling 1/2).
Dat is dus de lijn y = -2x - 2
Snijden met de cirkel:
x2 + (-2x - 2 - 3)2 = 25
x2 + 4x2 + 20x + 25 = 25
5x2  + 20x = 0
5x(x + 4) = 0
x = 0  ∨  x = -4
x = -4 geeft het punt  C(-4, 6)
       
  b. AB = √(42 + 22) = √20
Leg een cirkel door A (4, 0) met straal √20.
Dat is de cirkel  (x - 4)2 + y2 = 20
Snijden met de gegeven cirkel  x2 + (y - 3)2 = 25.

eerste cirkel:  x2 - 8x + 16 + y2 = 20  dus x2 + y2 = 4 + 8x
tweede cirkel:  x2 + y2 - 6y + 9 = 25  dus  x2 + y2 = 6y + 16
Dat moet gelijk zijn:   4 + 8x = 6y + 16  ofwel  x = 0,75y + 1,5
Vul dat in in één van de cirkels, bijvoorbeeld de eerste:

(0,75y + 1,5 - 4)2 + y2 = 20
(0,75y -2,5)2 + y2 = 20
0,5625y2 - 3,75y + 6,25 + y2 = 20
1,5625y2 - 3,75y -13,75 = 0
deel door 1,5625:    y2 - 2,4y - 8,8 = 0
ABC-formule:  y = (2,4 ±√40,96)/2 = 4,4  of  -2

y = 4,4 geeft  x = 0,75 • 4,4 + 1,5 = 4,8
Het gezochte punt is  (4.8, 4.4)
       
10. x2 + y2 - 28x - 32y  = -308
x2 - 28x + 196 - 196 + y2 - 32y + 256 - 256 = -308
(x - 14)2 + (y - 16)2  - 452 = -308
(x - 14)2 + (y - 16)2 = 144
Dus  M = (14, 16)       (en de straal is  r = 12 maar dat doet er niet toe)

De afstand van M tot de x-as is  16
MP = √((14 - 6)2 + (16 - 1)2) = √289 = 17
Het verschil is dus 1.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)