|
||||||
| 1. | a. |
 |
||||
| Een primitieve is dan F(x) = 1/4x4 + 1/3x3 + 1/2x2 + x + ln|x - 1| | ||||||
| b. |
 |
|||||
| Een primitieve is dan G(x) = x2 + 14x + 40ln|1/2x - 2| | ||||||
| c. |
 |
|||||
| Een primitieve is dan H(x) = 1/2x2 + x + 11ln|x - 1| | ||||||
| 2. |
 |
|||||
| De grafiek gaat door (0,0), dus de oppervlakte wordt: | ||||||
 |
||||||
| =
1/3p3
- p2 + 4p - 8ln(p + 2) - (-8ln2) = 10 Y1 = X^3/3 - X^2 + 4X - 8ln(X+2)+8ln2 Y2 = 10 intersect geeft dan p = 3,743 |
||||||
| 3. | snijpunt:
2x²/(x - 1)
= 12 - x 2x2 = (12 - x)(x - 1) 2x2 = 12x - 12 - x2 + x 3x2 - 13x + 12 = 0 ABC-formule: x = (11 ±√(121 + 144))/6 = 3 of 4/3 |
|||||
|
|
||||||
 |
||||||
| zie de figuur hiernaast. | ||||||
 |
||||||
| (30 - 13,5 - 2ln2) -
(40/3 -
8/3
- 2ln1/3) = 35/6 - 2ln2 - 2ln3 = 35/6 - 2ln6 |
||||||
| 4. | (x²
+ 3)/(x - 1) = 7 x2 + 3 = 7x - 7 x2 - 7x + 10 = 0 (x - 2)(x - 5) = 0 x = 2 ∨ x = 5 |
|||||
 |
||||||
|
|
||||||
| (30-121/2 - 4ln4) - (12 - 2 - 4ln1) = 71/2 - 4ln4 | ||||||
| 5. | cos2x = 2cos2x
- 1 2cos2x = 1 + cos2x cos2x = 1/2 + 1/2cos2x De primitieve is dan 1/2x + 1/2sin2x • 1/2 = 1/2x + 1/4sin2x |
|||||
| 6. | omdat sin2x = 2sinxcosx geldt ook dat sin4xcos4x = 1/2sin(8x) | |||||
 |
||||||
| 7. |
 |
|||||
| 8. |
 |
|||||
| =
π • {(πa/2a
+ 1/4a
• sin2π) - (0)} = π • π/2 = 1/2π2 |
||||||
| 9. | zie de figuur
hiernaast. sin2x = cos2x sinx = cosx ∨ sinx = -cosx Dat geeft de oplossingen x = 1/4π, 3/4π, 5/4π, .... twee opeenvolgenden zijn bijv. x = 1/4π en x = 3/4π, en daartussen ligt de grafiek van sin2x boven die van cos2x |
|
||||
 |
||||||
| 10. | a. | Voor de lengte L
geldt: L = 2sin2x - (1 - cosx) = 2sin2x
- 1 + cosx L ' = 0 4sinxcosx - sinx = 0 sinx(4cosx - 1) = 0 sinx = 0 ∨ cosx = 1/4 De maximale lengte vinden we bij cosx = 1/4 Dan is sinx = √(1 - (1/4)2) = √(15/16) L = 2 • 15/16 - 1 + 1/4 = 11/8 |
||||
| b. | snijpunten: 2sin2x = 1 - cosx 2(1 - cos2x) = 1 - cosx 2 - 2cos2x = 1 - cosx 2cos2x - cosx - 1 = 0 ABC-formule: cosx = (1 ±√(1 + 8))/4 = 1 of -1/2 Dat geeft de oplossingen x = 0, 2/3π, 4/3π |
|||||
 |
||||||
| = (4/3π
- - 1/2√3
- 4/3π
+ 1/2√3)
- (2/3π
- 1/2√3
- 2/3π
- 1/2√3) = 2√3 |
||||||
| 11. | F(x) = 1/2sinx
- 1/6sin3x F '(x) = 1/2cosx - 1/2cos3x = 1/2cosx - 1/2cos(x + 2x) = 1/2cosx - 1/2(cosxcos2x - sinxsin2x) = 1/2cosx - 1/2cosx(2cos2x - 1) + 1/2sinx• 2sinxcosx = 1/2cosx - cos3x + 1/2cosx + sin2xcosx = cosx - cos3x + sin2xcosx = cosx(1 - cos2x) + sin2xcosx = cosxsin2x + sin2xcosx = 2sin2xcosx = 2sinxcosx • sinx = sin2x • sinx |
|||||
| 12. | F(x) = cosx + x • sinx F '(x) = -sinx + 1 • sinx + x • cosx = xcosx |
|||||
| 13. | a. | F(x) = 2x • sinx + (2 - x2) • cosx F' (x) = 2 • sinx + 2x • cosx + -2x • cosx + (2 - x2) • -sinx = 2sinx - 2sinx + x2sinx = x2sinx |
||||
| b. | F(x) = (3x2 - 6) • sinx - (x3
- 6x) • cosx F '(x) = 6x • sinx + (3x2 - 6) • cosx - (3x2 - 6) • cosx - (x3 - 6x) • -sinx = 6xsinx + x3sinx - 6xsinx = x3sinx |
|||||
| 14. | de primitieve van tan2x
+ 1 is dus tanx voor de primitieve van tan2x moet je die -1 nog weghalen. dat kan door -x toe te voegen, want de primitieve daarvan is -1 dus de primitieve van (tan2x + 1) - 1 is tanx - x |
|||||
| 15. | a. | De afgeleide van tan(x)
is 1/cos2x
De afgeleide van tan(1/2x) is dan 1/2 • 1/cos²(½x) = 1/2cos²(½x) cos2x = 2cos2x - 1 dus is cosx = 2cos2(1/2x) - 1 daaruit volgt dat 2cos2(1/2x) = 1 + cosx Dus de afgeleide van tan(1/2x) is 1/(1 + cosx) |
||||
| b. | uit vraag a) volgde
dat de afgeleide van tan1/2x
gelijk is aan 1/(1 + cosx) tan(1/4π + 1/2x) = tan1/2(1/2π + x) vervang in het resultaat van vraag a) x door 1/2π + x Dat geeft dat de afgeleide van tan(1/4π + 1/2x) gelijk is aan 1/(1 + cos(½p + x)) Maar cos(1/2π + x ) = -sinx Dus is de afgeleide van tan(1/4π + 1/2x) gelijk aan 1/(1 - sinx) |
|||||
| 16. | F(x) = asinx • (cos2x
+ b) F ' = acosx • (cos2x + b) + asinx • 2cosx• -sinx F ' = acos3x + abcosx - 2asin2xcosx F ' = acos3x + abcosx - 2acosx(1 - cos2x) F ' = cos3x • (a + 2a) + cosx • (ab - 2a) Dat moet gelijk zijn aan cos3x dan is 3a = 1 en ab - 2a = 0 Dat geeft a = 1/3 en b = 2 |
|||||
| 17. | f(x)
= 2x • e1 - x f ' (x) = 2e1-x + 2x • e1-x • -1 = (2 - 2x)e1-x F = a • f(x) + b • f ' (x) = a • 2xe1-x + b• (2 - 2x)e1-x = (2ax + 2b - 2bx)e1-x F ' = (2a - 2b)e1-x - (2ax + 2b - 2bx)e1-x = (2a - 2b - 2b - 2ax + 2bx)e1-x Dat moet gelijk zijn aan 2xe1 - x Dat kan alleen als 2a - 4b = 0 en -2a + 2b = 2 tel deze twee vergelijkingen bij elkaar op en je krijgt -2b = 2 dus b = -1 dan is a = -2 |
|||||
| 18. | F(x) =
x2 • (alnx + b) F ' = 2x • (alnx + b) + x2 • a/x = 2axlnx + 2bx + ax Dat moet gelijk zijn aan xlnx dan moet gelden 2a = 1 en 2b + a = 0 Dat geeft a = 1/2 en b = -1/4 |
|||||
| 19. | F(x) = a • lnx + b • ln2x
. F ' = a/x + 2blnx • 1/x = 1/x • (a + 2blnx) Dat moet gelijk zijn aan (2 + 4lnx)/x dan moet gelden a = 2 en 2b = 4 dus is a = b = 2 |
|||||
| 20. | F(x)
= e-0,5x • (-2x2 + px
- 16) F ' = -0,5e-0,5x(-2x2 + px - 16) + e-0,5x•(-4x + p) = e-0,5x • (x2 - 0,5px + 8 - 4x + p) = e-0,5x • (x2 + x(-0,5p - 4) + (p + 8)) Dat moet gelijk zijn aan f(x) = x2 • e - 0,5x dan moet gelden -0,5p - 4 = 0 en p + 8 = 0 beiden geeft gelukkig p = -8 |
|||||
| 21. | F(x) = (ax2
+ bx + c)e-x F ' = (2ax + b)e-x - (ax2 + bx + c)e-x = e-x • (-ax2 + x(2a - b) + (b - c)) Dat moet gelijk zijn aan (2x2 + 3x)e-x dan moet gelden -a = 2 en 2a - b = 3 en b - c = 0 dat geeft a = -2 en b = -7 en c = -7 (2x2 + 3x)e-x = 0 x(2x + 3) = 0 x = 0 ∨ x = -11/2 De grafiek ligt tussen x = 0 en x = -1,5 onder de x-as, dus de oppervlakte wordt: |
|||||
 |
||||||
| = -{(-7e0)
- (-1 • e1,5) } = 7 - e√e |
||||||
| 22. | g(x) = acos3x
+ bcosx g ' = 3acos2x • -sinx - bsinx = -3a(1 - sin2x)sinx - bsinx = -3asinx + 3asin3x - bsinx = 3asin3x - sinx(3a + b) Dat moet gelijk zijn aan 3sin3x dan moet gelden 3a = 3 en 3a + b = 0 dat geeft a = 1 en b = -3 3sin3x = 0 sinx = 0 x = 0 ∨ x = π Daartussen ligt de grafiek boven de x-as, dus de oppervlakte is: |
|||||
 |
||||||
| 23. | a. | Als F
een primitieve van f is, dan moet gelden
F ' = f. F' met de productregel: F' = 1 • e-ax + x • e-ax • -a (-a van de kettingregel) F' = e-ax • (1 - ax) en dat is fa(x). |
||||
| b. | De
oppervlakte van driehoek OAB = 1/2
• b • h = 1/2
• OA • OB = 1/2
• 1/a • 1 = 1/(2a) De oppervlakte van het deel onder de grafiek van f is een integraal (de primitieve weten we uit vraag a): |
|||||
 |
||||||
| De
oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f en de lijn AB
is dan gelijk aan 1/2a - 1/ea De verhouding van die beide delen is dan gelijk aan: |
||||||
 |
||||||
| Dat is inderdaad onafhankelijk van a | ||||||
| 24. |
 |
|||||
| a ((π
- 0)-(0 - 0)) =
πa dat is 6π als a = 6 |
||||||
| 25. | snijpunt: xex = 1/e•
x xex + 1/e • x = 0 x(ex - e-1) = 0 x = 0 ∨ ex = e-1 x = 0 ∨ x = -1 Voor a = 1 is F = xex - ex De oppervlakte is de integraal van de bovenste min de onderste, dus l - f: |
|||||
 |
||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||||
