h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.
    Een primitieve is dan   F(x) = 1/4x4 + 1/3x3 + 1/2x2 + x + ln|x - 1|
       
  b.
    Een primitieve is dan  G(x) = x2 + 14x + 40ln|1/2x - 2|
       
  c.
    Een primitieve is dan H(x) = 1/2x2 + x + 11ln|x - 1|
       
2.
       
  De grafiek gaat door (0,0), dus de oppervlakte wordt:
 
  = 1/3p3 - p2 + 4p - 8ln(p + 2) - (-8ln2) = 10

Y1 = X^3/3 - X^2 + 4X - 8ln(X+2)+8ln2
Y2 = 10
intersect geeft dan p = 3,743
       
3. snijpunt:  2x/(x - 1) = 12 - x
2x2 = (12 - x)(x - 1)
2x2 = 12x - 12 - x2 + x
3x2 - 13x + 12 = 0
ABC-formule:   x = (11 √(121 + 144))/6 = 3  of  4/3
     

 
     
  zie de figuur hiernaast.
       
 
  (30 - 13,5 - 2ln2) - (40/3 - 8/3 - 2ln1/3)
= 35/6 - 2ln2 - 2ln3
= 35/6 - 2ln6
       
4. (x + 3)/(x - 1) = 7
x2 + 3 = 7x - 7
x2 - 7x + 10 = 0
(x - 2)(x - 5) = 0
x = 2  ∨  x = 5
 
 

  (30-121/2 - 4ln4) - (12 - 2 - 4ln1) = 71/2 - 4ln4
       
       
5. cos2x = 2cos2x - 1
2cos2x = 1 + cos2x
cos2x = 1/2 + 1/2cos2x
De primitieve is dan   1/2x + 1/2sin2x 1/2  = 1/2x + 1/4sin2x
       
6. omdat sin2x = 2sinxcosx  geldt ook dat  sin4xcos4x = 1/2sin(8x)
 
       
7.
       
8.
  = π {(πa/2a + 1/4a sin2π) - (0)}
= π π/2
= 1/2π2 
       
9. zie de figuur hiernaast.
sin2x = cos2x
sinx = cosx  ∨  sinx = -cosx
Dat geeft de oplossingen  x = 1/4π, 3/4π, 5/4π, ....
twee opeenvolgenden zijn bijv.  x = 1/4π  en x = 3/4π, en daartussen ligt de grafiek van sin2x  boven die van cos2x

 
 
       
10. a. Voor de lengte L geldt:  L = 2sin2x - (1 - cosx) = 2sin2x - 1 + cosx
L ' = 0
4sinxcosx - sinx = 0
sinx(4cosx - 1) = 0
sinx = 0  ∨  cosx = 1/4
De maximale lengte vinden we bij cosx = 1/4
Dan is sinx = √(1 - (1/4)2) = √(15/16)
L = 2 15/16 - 1 + 1/4 = 11/8
       
  b. snijpunten:
2sin2x = 1 - cosx
2(1 - cos2x) = 1 - cosx
2 - 2cos2x = 1 - cosx
2cos2x - cosx - 1 = 0
ABC-formule:   cosx = (1 √(1 + 8))/4 = 1 of -1/2 
Dat geeft de oplossingen x = 0,  2/3π, 4/3π
   
    = (4/3π - - 1/2√3 - 4/3π + 1/2√3) - (2/3π - 1/2√3 - 2/3π - 1/2√3)
= 2√3
       
11. F(x) = 1/2sinx - 1/6sin3x
F '(x) = 1/2cosx - 1/2cos3x
= 1/2cosx - 1/2cos(x + 2x)
= 1/2cosx - 1/2(cosxcos2x - sinxsin2x)
= 1/2cosx1/2cosx(2cos2x - 1) + 1/2sinx 2sinxcosx
= 1/2cosx - cos3x + 1/2cosx + sin2xcosx
=
cosx - cos3x + sin2xcosx
=
cosx(1 - cos2x) + sin2xcosx
= cosxsin2x + sin2xcosx
=
2sin2xcosx
= 2sinxcosx sinx
= sin2x sinx
       
12. F(x) =  cosx + x sinx
F '(x) = -sinx + 1 sinx + x cosx
= xcosx
       
13. a. F(x) = 2x sinx + (2 - x2) cosx
F' (x) = 2 sinx + 2x cosx + -2x cosx + (2 - x2) -sinx
= 2sinx - 2sinx + x2sinx
= x2sinx
       
  b. F(x) = (3x2 - 6) sinx - (x3 - 6x) cosx
F '(x) = 6x sinx + (3x2 - 6) cosx - (3x2 - 6) cosx - (x3 - 6x) -sinx
= 6xsinx + x3sinx - 6xsinx
= x3sinx
       
14. de primitieve van tan2x + 1 is dus tanx
voor de primitieve van tan2x moet je die -1 nog weghalen.
dat kan door -x toe te voegen, want de primitieve daarvan is -1
dus de primitieve van  (tan2x + 1) - 1 is  tanx - x
       
15. a. De afgeleide van tan(x) is  1/cos2x 
De afgeleide van  tan(1/2x) is dan  1/2 1/cos(x)  = 1/2cos(x)

cos2x = 2cos2x - 1  dus is  cosx = 2cos2(1/2x) - 1
daaruit volgt dat 2cos2(1/2x) = 1 + cosx

Dus de afgeleide van 
tan(1/2x) is  1/(1 + cosx)
       
  b. uit vraag a) volgde dat de afgeleide van tan1/2x gelijk is aan  1/(1 + cosx)
tan(1/4π  + 1/2x) = tan1/2(1/2π  + x)
vervang in het resultaat van vraag a)  x door   1/2π + x
Dat geeft dat de afgeleide van  tan(1/4π + 1/2x) gelijk is aan 1/(1 + cos(p + x))
Maar cos(1/2π + x ) = -sinx
Dus is de afgeleide van tan(1/4π + 1/2x) gelijk aan  1/(1 - sinx)
       
16. F(x) = asinx (cos2x + b)
F ' = acosx (cos2x + b) + asinx 2cosx -sinx
F ' = acos3x + abcosx - 2asin2xcosx
F ' = acos3x + abcosx - 2acosx(1 - cos2x)
F ' = cos3x (a + 2a) + cosx (ab - 2a)
Dat moet gelijk zijn aan cos3x
dan is  3a = 1  en   ab - 2a = 0
Dat geeft  a = 1/3 en b = 2       
       
17. f(x) = 2x e1 - x
f ' (x) = 2e1-x + 2x e1-x -1 = (2 - 2x)e1-x

F = a f(x) + b f ' (x
= a 2xe1-x + b (2 - 2x)e1-x = (2ax + 2b - 2bx)e1-x

F ' = (2a - 2b)e1-x - (2ax + 2b - 2bx)e1-x
(2a - 2b - 2b - 2ax + 2bx)e1-x

Dat moet gelijk zijn aan  2xe1 - x
Dat kan alleen als  2a - 4b = 0  en  -2a + 2b = 2
tel deze twee vergelijkingen bij elkaar op en je krijgt -2b = 2  dus  b = -1
dan is  a = -2
       
18. F(x) = x2 (alnx + b)

F ' = 2x (alnx + b) + x2 a/x
=  2axlnx +  2bx + ax

Dat moet gelijk zijn aan xlnx
dan moet gelden 2a = 1  en   2b + a = 0
Dat geeft  a = 1/2  en b = -1/4
       
19. F(x) = a lnx + b ln2x .
F ' =  a/x + 2blnx 1/x  = 1/x (a + 2blnx)

Dat moet gelijk zijn aan (2 + 4lnx)/x
dan moet gelden  a = 2 en  2b = 4
dus is  a = b = 2 
       
20. F(x) = e-0,5x (-2x2 + px - 16)

F ' = -0,5e-0,5x(-2x2 + px - 16) + e-0,5x(-4x + p)
= e-0,5x (x2 - 0,5px + 8 - 4x + p)
= e-0,5x (x2 + x(-0,5p - 4) + (p + 8))

Dat moet gelijk zijn aan 
f(x) = x2 e - 0,5x  
dan moet gelden  -0,5p - 4 = 0  en  p + 8 = 0
beiden geeft gelukkig p = -8
       
21. F(x) = (ax2 + bx + c)e-x

F ' = (2ax + b)e-x - (ax2 + bx + c)e-x
=
e-x (-ax2 + x(2a - b) + (b - c))

Dat moet gelijk zijn aan  (2x2 + 3x)e-x
dan moet gelden  -a = 2  en  2a - b = 3  en   b - c = 0
dat geeft  a = -2  en  b = -7  en  c = -7

(2x2 + 3x)e-x  = 0
x
(2x + 3) = 0
x
= 0    x = -11/2 
De grafiek ligt tussen x = 0 en x = -1,5 onder de x-as, dus de oppervlakte wordt: 
       
 
  = -{(-7e0) - (-1 e1,5) }
= 7 - ee
       
22. g(x) = acos3x + bcosx

g
' = 3acos2x -sinx - bsinx 
= -3a(1 - sin2x)sinx - bsinx
= -3asinx + 3asin3x - bsinx
=  3asin3x - sinx(3a + b)

Dat moet gelijk zijn aan 3sin3x   
dan moet gelden  3a = 3 en  3a + b = 0
dat geeft  a = 1 en  b = -3   

3sin3x = 0
sinx = 0
x = 0 ∨  x = π
Daartussen ligt de grafiek boven de x-as, dus de oppervlakte is:
 
       
23. a. Als F een primitieve van  f   is, dan moet gelden  F ' = f.
F' met de productregel:   F' =  1 e-axx e-ax -a    (-a van de kettingregel)
F' = e-ax (1 - ax)  en dat is fa(x).
       
  b. De oppervlakte van driehoek OAB = 1/2 b h = 1/2 OA OB = 1/2 1/a 1 = 1/(2a)
De oppervlakte van het deel onder de grafiek van f is een integraal (de primitieve weten we uit vraag a):
   
    De oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van f en de lijn AB is dan gelijk aan  1/2a - 1/ea
De verhouding van die beide delen is dan gelijk aan:
   
    Dat is inderdaad onafhankelijk van a  
       
24.
  a ((π - 0)-(0 - 0)) = πa
dat is 6π als a = 6
       
25. snijpunt:  xex = 1/e x
xex +
1/e x = 0
x(ex - e-1) = 0
x = 0  ∨  ex = e-1
x = 0  ∨  x = -1
Voor a = 1  is  F = xex - ex
De oppervlakte is de integraal van de bovenste min de onderste, dus l - f:
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)