© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.  f:  x →  x2 - 4x√x + 4x
f '  = 2x - 4 • 1,5√x + 4
f '(0) = 4  dus de raaklijn is  y = 4x + b
f(0) = 0  dus  b = 0  en de raaklijn is de lijn y = 4x
Waar is de helling nog meer gelijk aan 4?
f ' = 4 geeft  2x - 6√x + 4 = 4
2x - 6√x = 0
√x(2√x - 6) = 0
√x = 0  ∨ 2√x - 6 = 0
x = 0  ∨  √x = 3
x = 0  ∨  x = 9
x= 9 geeft  y = 9 dus het tweede raakpunt moet  (9,9) zijn.
Als je y = 4x over afstand a naar rechts schuift krijg je  y = 4(x - a)
Die moet door (9,9) gaan:  9 = 4(9 - a)
9 = 36 - 4a
4a = 27
a = 63/4.  
       
2. De steel van de roos is de raaklijn aan de grafiek van f in punt C (30 , 11.6)
De raaklijn heeft de formule  y = ax + b
f '(x) = 0,0084x2 - 0,24x + 1,3  dus  f '(30) = 1,66 en dat is de a van de raaklijn.
De raaklijn wordt daarmee  y = 1,66 • x + b
Vul nu het punt C in:  11,6 = 1,66 • 30 + b  dat geeft  b = -38,2
De raaklijn wordt daarmee   y = 1,66 • x - 38,2
(deze formule had je overigens ook direct kunnen vinden: voer de formule voor f in bij Y1 in de GR en gebruik de optie DRAW - Tangent)

Stel nu deze raaklijnformule gelijk aan de formule voor de onderkant van de vaas:
1,66 • x - 38,2 = -0,0028x3 + 0,12x2 + 1,3x - 5
Invoeren in Y2 en Y2 en INTERSECT gebruiken levert snijpunt  x = 19,7
Conclusie: de stengel staat net in het water.
       
3. h'(x) = -10x9 dus  h'(1) = -10
de raaklijn is dus de lijn y = -10x + b en moet door (1,0) gaan.
Daaruit volgt dat b = 10
-10x + 10 = 1  geeft  x = 0,9 dus het snijpunt S is  (0.9 , 1)
       
4. De helling van de lijn is 2, dus moet de helling van de grafiek in het raakpunt ook 2 zijn
f(x) = (4x - 5)0,5  dus f '(x) = 0,5 • (4x - 5)-0,5 • 4 = 2(4x - 5)-0,5
f '= 2 geeft dan   2(4x - 5)-0,5 = 2  ⇒ (4x - 5)-0,5 = 1  ⇒  4x- 5 =  1 ⇒  4x = 6  ⇒  x = 1,5
In het raakpunt is x = 1 en dan is y = √(4 • 1,5 - 5) = √1 = 1
Het raakpunt is dus R = (1.5, 1) en de lijn y = 2x + b moet daar doorheen gaan:
1 = 2 • 1,5 + b  ⇒  b = -2
       
5. Stel  xQ = a
Dan is Q = (a, 1 - a2)
De helling van  QP is dan  f '(a) = -2a
QP:  y = -2ax + b en die gaat door Q, dus  1 - a2  = -2a • a + b
Dat geeft  b = 1 + a2
Dus P is het punt   (0, 1 + a2)

SQ = a
SP = 1 + a2
Als de driehoek gelijkzijdig is, dan is  RQ = QP  dus  QP = 2a

Pythagoras in PQS:  a2 + (1 + a2) = (2a)2
2a2 + 1 = 4a2
2a2 = 1
a2 = 1/2
Dan is  P = (0, 11/2)
       
6. Als de richtingscoλfficiλnt -1 is,  is de afgeleide functie -1.
f ' = -1 
⇒  1/2x = -1 
⇒  x = -2.  het raakpunt is (-2 ,1) en de raaklijn is de lijn y = -x - 1.
Die snijdt de y-as in het punt (0,-1)

g' = -1
⇒  8 • x-3 = -1 
⇒  x-3 = -1/8 
⇒  x = -2. Het raakpunt is  (-2 , -1)

de raaklijn is de lijn y = - x - 3, en die snijdt de y-as in (0,-3)
De diagonaal van het vierkant heeft dus lengte 2. 
       
7. punt P:  1/nx2 = x  ⇒  x = 0  ∨  x = n  en de laatste hoort bij punt P.
Helling  y ' = 2/nx  dus  y '(n) = 2/n • n = 2 en dus onafhankelijk van n
       
8. a. f '(x) = -1 • x-2  dus  f '(2) = -1/4
De raaklijn is dus  y = -1/4x + b en moet door het punt (2, 1/2) gaan.
Dus 1/2 = -1/4 • 2 + b  ⇒  b = 1
De raaklijn is dus  y = -1/4 x + 1
       
  b. De helling van AC is -1, dus moet de afgeleide van f ook -1 zijn.
-x-2 = -1 
⇒  x = 1  (dat hadden we ook uit symmetrieoverwegingen wel kunnen raden trouwens)

De lijn y = -x + a  moet dus door (1,1) gaan, dus 1 = -1 + a ⇒ a = 2
       
9. a. B = 0  geeft  I = a • 0 + 1001 - p•  (1 - a) • 0p = 0 + 0 = 0  dus dat klopt.
B = 100 geeft  I = a • 100 + 1001 - p (1 - a) • 100p
100p • 1001 - p  = 100, dus dat geeft  I = 100a + 100(1 - a) = 100a + 100 - 100a = 100 dus dat klopt ook.   
       
  b. B = 50 moet I = 17 opleveren
17 = 50a + 100-2 • (1 - a) • 503
17 = 50a + 12,5(1 - a)
17 = 50a + 12,5 - 12,5a
4,5 = 37,5a
a = 4,5/37,5 = 0,12
       
10. de helling is de afgeleide.
f(x) = -3 + √(2x + 6) = -3 + (2x + 6)0,5
f '(x) = 0,5 • (2x + 6)-0,5 • 2
f '(1,5) = 0,5 • (2 • 1,5 + 6)-0,5 • 2 = 1/3

de raaklijn in A heeft vergelijking  y = 1/3x + b
die moet door A gaan, dus  0 = 1/3 • 11/2 + b  en dat geeft  b = -1/2
de raaklijn is dus de lijn y = 1/3x - 1/2.

BC is de lijn x = -3
snijden met de raaklijn geeft dan   y = 1/3 • -3 - 1/2 = 1-11/2  dus  S = (-3, -11/2)

B = (-3,  0) en C = (-3, -3) dus S ligt daar inderdaad midden tussenin.   
       
11. a. f '(2) = 3 dus de grafiek heeft in (2, 8) helling 3  dus  Δy/Δx = 3
x = 2,03 betekent  Δx = 0,03 dus Δy = 0,09
Dan is  f(2,03) = 8,09
       
  b. f ' stijgt in x = 2 dus de grafiek is toenemend stijgend.
De werkelijke waarde zal dus hoger zijn dan  8,09
       
12. a. Het punt van de bovenste parabool is dan  (p, 2 + p2)
De figuur is symmetrisch, dus het punt van de onderste parabool is  (-p, -2-p2)
Dan is de helling  Δy/Δx = (2 + p² - (-2 - p²))/(p -- p) =  (4 + 2p²)/2p  = (2 + p²)/p
       
  b. De helling is ook gelijk aan de afgeleide in p  (het is immers een raaklijn)
De afgeleid in x = p is gelijk aan  2p
2p = (2 + p²)/p
2p2 = 2 + p2
p2 = 2
p = ±√2
Dan is  y = 4 (bovenste parabool)  of y = -4 (onderste parabool)
De raakpunten zijn   (±√2, ±4)
       
13. De lijn door (2p, 0) en (0, 2q) heeft helling  Δy/Δx =  -2q/2p = -q/p 
Het is dus de lijn  y = -q/p • x + 2q

Die gaat inderdaad door (p, q)  want   -q/p • p + 2q  = q

De grafiek van f heeft  f ' = -2/x²  dus  f '(p) = -2/p2  
Omdat P op de grafiek ligt is  q = 2/p   dus de helling van de rechte lijn is  -q/p = -2/p² 

Kortom:  de grafieken gaan door hetzelfde punt met daar dezelfde helling dus ze raken elkaar.
       
14. f(x) =  12(x - 3)-1 + 4
f '(x) = -1 • 12 • (x - 3)-2
f '(0) = -12 • (-3)-2 = -12 • 1/3² = -12/9 = -4/3
x = 2  geeft  y =  12/-1 + 4 = -8  dus  B = (2, -8)
A = (0, -8)

De raaklijn is de lijn y = -4/3x    Dus  yD = -4/3 • 2 = -8/2  dus  D = (2, -8/3)

OABC heeft oppervlakte 8 • 2 = 16
OCD heeft oppervlakte 0,5 • 2 • 8/3 = 8/3
OABD heeft oppervlakte 16 - 8/3 = 40/3

Dat is dus 5 keer zo groot
       
15. y = x2 + 3  heeft top  (0, 3)
y = -x2 - 1  heeft top  (0, -1)
De raaklijnen gaan dus door (0, 1) en hebben vergelijking  y = ax + 1

raken aan de eerste parabool:
ax + 1 = x2 + 3
a = 2x

tweede invullen in de eerste:  2x2 + 1 = x2 + 3
x2 = 2
x = ±√2  en dan is  a = ± 2√2

De vergelijkingen zijn dus  y =  ± 2√2 • x + 1
       
16. a. f ' = 2  geeft  2(x - p) = 2  dus  x - p = 1  dus  x = 1 + p
Dan is y = (1 + p - p)2 + 2p  = 1 + 2p
Het raakpunt is dus  (1 + p, 1 + 2p)
       
  b. Het raakpunt is  (1 + p, 1 + 2p)  zie vraag 2.
Dus is  Q het punt (1, 1)  en  Rp het punt  (1 + p, 1 + 2p)
Het gemiddelde van de x-coφrdinaten van Q en Rp is  (1 + p + 1)/2 = 1 + 0,5p

Is dat de x van Sp?
(x - p)2 + 2p = x2
x2 - 2px + p2 + 2p = x2
2px = p2 + 2p
x = 0,5p + 1
JA!!
       
17. a. f(x) = (2x - 3)-1 - x - 1
f '(x) = -(2x - 3)-2 • 2- 1
f '(1) = -2(-1)-2 - 1 = -3
De raaklijn is  y = -3x + b
A invullen:  -3 = -3 • 1 + b  en dat geeft b = 0
De raaklijn gaat inderdaad door de oorsprong.
       
  b. snijden:   -11/9x = 1/(2x - 3) - x - 1
vermenigvuldig met 9:   -11x = 9/(2x - 3) - 9x - 9
Dat geeft  -2x + 9 = 9/(2x - 3)
vermenigvuldig met (2x - 3):   (-2x + 9)(2x - 3) = 9
-4x2 + 6x + 18x - 27 = 9
-4x2  + 24x  - 36 = 0
x2 - 6x + 9 = 0
(x - 3)2 = 0
x = 3
Er is maar ιιn oplossing (x = 3: het snijpunt met de rechtertak) dus de lijn snijdt de linkertak niet.
       
18. f(x) = 3/16 • x-4
f '(x) = -4 • 3/16 • x-5
f '(1) = -4 • 3/16 • 1-5 = -3/4
(1, 3/16) invullen in  y = -3/4 • x + b  geeft  3/16 =-3/4 • 1 + b
Dan is b = 15/16 en dat is meteen de y-coφrdinaat van B.
       
19. l raakt de grafiek van f op de plaats waar hun hellingen gelijk zijn.
Dus moet gelden f ' = 0,75
f  ' = 3/(2√x)  = 0,75
0,75 • 2√x = 3
√x = 2
x = 4
Dan is  f(x) = -3 + 3√4 = 3
op l is dan   y = 0,75 • 4 = 3
Beiden leveren inderdaad punt A op.
       
20. a. Als k f raakt moeten twee dingen gelden:   f = k  en  f ' = 1
f '= 1/2√(x - p) = 1  geeft  2√(x - p) = 1
√(x - p) = 1/2
x - p = 1/4
x = p + 1/4

Dan moet tegelijk ook gelden  p + √(x - p) = x + 1/4
x = p + 1/4 invullen:   p + √(p + 1/4 - p)  =?= p + 1/4 + 1/4
p + √1/4 =?= p + 1/2
p + 1/2 =?=  p + 1/2
dat klopt, dus f raakt k   
       
  b. Het randpunt van fp ligt bij x = p
Dan is y = p + 0 = p  dus het randpunt is  (p, p)

Ligt (p, p) op fp-1  ?
fp - 1 = p - 1 + √(x - (p - 1)) = p - 1 + √(x - p + 1)
(p, p) invullen:
p =?= p - 1 + √(p - p + 1)
p =?=  p - 1 + 1
p =?= p
Dat klopt, dus het randpunt van fp ligt op fp - 1
       
21. a. y = 0  geeft  -2 + √(8 + x) = 0
√(8 + x) = 2
8 + x = 4
x = -4
A = (-4, 0)
f(x) = -2 + (8 + x)0,5
f '(x) = 0,5(8 + x)-0,5
f '(-4) = 0,5 • (4)-0,5 = 1/4  
De raaklijn is  y = 1/4x + b en gaat door  (-4, 0) 
0 = 1/4 • -4 + b  geeft  b = 1
De raaklijn is dus   y = 1/4x + 1.
       
  b. Voor het randpunt is  (8 + x) = 0  dus  x = -8  en  B = (-8, -2)
OB heeft helling   (-2 - 0)/(-8 - 0) = -2/-8 = 1/4
Dat is inderdaad gelijk aan de helling van k.
       
22. f(x) = x2 - 2x√x + x
f '(x) = 2x - 3√x + 1
f '(0 ) = 1
f '(x) = 1 geeft  2x -3√x + 1 = 1
2x - 3√x = 0
√x(2√x - 3) = 0
√x = 0   ∨  √x = 3/2
x = 0 ∨ x = 9/4 
x = 9/4   geeft  y =  81/16 - 2• 9/4 •  3/2 +  9/4  =  9/16
De raaklijn bij  x = 9/4   is  y = x + b  dus  9/16 = 9/4 + b   dus  b = -27/16
De raaklijn is  y = x - 27/16  en die snijdt de x-as in (27/16, 0)
Dat was de oorsprong dus de lijn is 27/16 naar rechts geschoven.
Dus  a = 27/16 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)