Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y = 2√(x2 + 3x) = 2(x2 + 3x)0,5
y ' = 0,5 • 2 • (x2 + 3x)-0,5 • (2x + 3)
y ' = (2x + 3)/√(x2 + 3x)
       
  b. f(x) = (2x3 - x)5 
f ' = 5(2x3 - x)4 • (6x2 - 1)
       
  c. f(x) = 6/(6x + 8)˛ = 6 • (6x + 8)-2
f ' = -2 • 6 • (6x + 8)-3 • (6) = -72/(6x + 8)3
       
  d. y = (2x + 3) • √(2x + 3) = (2x + 3)1,5
y ' = 1,5 • (2x + 3)0,5 • 2 
y ' = 3√(2x + 3)
       
  e. y = 3(x2 + 4x - 6)3 
y ' = 9(x2 + 4x - 6)2 • (2x + 4)
       
  f. y =  1/(4xŗ - 2x) + 3x2 = (4x3 - 2x)-1 + 3x2
y ' = -1 • (4x3 - 2x)-2 • (12x2 - 2) + 6x
       
  g. f(x) = 6 - (4 - x)4 
f ' = -4(4 - x)3 • -1  = 4 • (4 - x)3
       
  h. f(x) = √(1 + √x)) = (1 + x0,5)0,5
f ' = 0,5 • (1 + x0,5)-0,5 • 0,5x-0,5
f ' = 0,25/(√x • √(1 + √x))
       
2.  f(x) = (2x - x4 )3
f ' = 3(2x - x4)2 • (2 - 4x3)
f '(1) = 3 • (2 - 1)2 • (2 - 4) = -6  dus de raaklijn is y = -6x + b
f(1) = (2 - 1)3 = 1
1 = -6 • 1 + b  geeft  b = 7
De raaklijn is de lijn y = -6x + 7
       
3. a. V(n) = 0,08√(0,1n3 + 10n) = 0,08 • (0,1n3 + 10n)0,5
V ' = 0,5 • 0,08 • (0,1n3 + 10n)-0,5 • (0,3n2 + 10)
V ' = (0,012n2 + 0,4)/√(0,1n3 + 10n)
De teller is altijd positief (een kwadraat plus iets), de noemer is altijd positief (een wortel),
dus de afgeleide is positief, dus de functie is stijgend.
       
  b.
       
  c. V/n = 0,08(0,1n + 10n-1)0,5
de afgeleide is:   0,5 • 0,08 • (0,1n + 10n-1)-0,5 • (0,1 - 10n-2) = 0
alleen dat laatste stuk kan nul worden:   0,1 - 10n-2 = 0
0,1n2 - 10 = 0
n2 = 100
n = 10, dus dat zijn 10000 inwoners
       
  d. V '(t) = V'(n) • n '(t), dus dat geeft:
V ' (t) = 0,5 • 0,08 • (0,1n3 + 10n)-0,5 • (0,3n2 + 10) •  n '(t)
V '(t) = 0,5 • 0,08 • (0,1n3 + 10n)-0,5 • (0,3n2 + 10) •  (0,2t)
t = 15 geeft  n = 24,5
V'(15) = 0,5 • 0,08 • (1715,61)-0,5 • 190,075 • 3
V '(15) = 0,55
De hoeveelheid neemt toe met 550 kg per jaar
       
4. a. P'(t) = P'(V) • V'(t)
P'(t) = -V-2 • V'(t)
P' (5) = -0,5-2 • 0,20 = -0,8
       
  b. V = 1/P
V'(t) = -P-2 • P'(t)
V'(10) = -1,25-2 • 0,3 = -0,192
       
5. de plas is een cilinder met inhoud V = πr2 • 0,1
V ' = 2πr • 0,1 • r'
V ' = 2π • 800 • 0,1 • 100 ≈ 50265 mm3 per minuut
       
6.

Noem de horizontale afstand van de boxer tot punt P gelijk aan B en die van de herder H.
De lengte van het touw is 20 meter en die kun je met twee keer Pythagoras berekenen:
20 = √(B2 + 32) + √(H2 + 32)    ....(1)
√(B2 + 9) = 20 - √(H2 + 9)
B2 + 9 = (20 - √(H2 + 9)2  = 400 - 40√(H2 + 9) + H2 + 9
B2 = 409 - 40√(H2 + 9) + H2
B = √(409 - 40√(H2 + 9) + H2 )

Als B = 4 dan geeft  (1)  dat   √(H2 + 9) = 15  ⇒  H2 + 9 = 225  ⇒  H2 = 216  ⇒  H = √216
B'  is dan: 

       
 

       
  invullen  B = 4, H = √216  en  H' = 0,2:
B' = 1/8 • (-2/3) • √216 • 0,2  = -0,98  m/s
       
7. a. 5 = 20 - √(10 + h2)
√(10 + h2) = 15
10 + h2 = 225
h2 = 215
h = √215 = 14,66 dus dat is 1466 meter
       
  b. T = 20 - √(10 + h2) = 20 - (10 + h2)0,5
T ' = -0,5(10 + h2)-0,5 • 2h
T '(6) = -0,5 • 46-0,5 • 12 = -0,88
De temperatuur daalt met 0,88 ēC per 100 m, dat is  0,0088 ēC/m
       
  c. h(t) = 20 + 0,1 • (t - t2)
h ' = 0,1 • (1 - 2t)
Dat is voor t = 0 positief, dus neemt h toe.
Vanaf t = 0,5 wordt h ' negatief en daalt de parachutist.
       
  d. h ' = -0,90  want h is in honderden meters.
0,1 • (1 - 2t) = -0,90
1 - 2t = -0,9
2t = 1,9
t = 0,95 sec.
       
  e. T'(t)  = T '(h) • h'(t)
op t = 5  is  h = 18 en h ' = -0,9   en T'(h) =  -0,5(10 + 182)-0,5 • 2 • 18 = -0,9849
T '(5) = -0,9849 • -0,9 = 0,886  ēC/sec
       
8. tan30ē = r/x
r = x • tan30ē = x • 1/3√3
O = πr2 = π • 1/3x2
O ' =  2π • 1/3x • x'
O ' = 2π • 1/3 • 6 • -3 = -12π m2/sec
       
9. g ' =  3 • (px + 4)2 • p
g' (0) = 3 • 16 • p = 10
48p = 10
p = 4,8
       
10. a. De kegel van water is gelijkvormig met de totale silo.
Noem de diameter van het wateroppervlak dm dan geldt:  h/d = 2/1 = 2
Dus d = 1/2h
Dan is de straal   r = 1/2d = 1/4h
De inhoud is I = 1/3 • π • (1/4h)2 • h
I = 1/3 • π • 1/16 • h2 • h
I = 1/48πh3
       
  b. I ' = -1200 cm3/sec en dat is -0,0012 m3/sec.
I ' =  1/48 • π • 3h2 • h'  = -0,0012
h = 1 geeft dan  1/48 • π • 3 • 12 • h' = -0,0012
0,196h' = -0,0012
h'  = -0,0061  m/sec dus het peil daalt met  0,61 cm/sec
       
11. a. De afstand van de auto tot de kruising is  3 - 120t
De afstand van de trein tot de kruising is  2 - 80t
De onderlinge afstand kun je met Pythagoras vinden:
A = √((3 - 120t)2 + (2 - 80t)2)
A = √(9 - 720t + 14400t2 + 4 - 320t + 6400t2 )
A = √(20800t2 - 1040t + 13)
       
  b. De snelheid is de afgeleide:
A =  (20800t2 - 1040t + 13)0,5
v =  0,5 • ((20800t2 - 1040t + 13)-0,5 • (41600t - 1040)
       
  c. zie hiernaast.

De snelheid is constant (ongeveer 144,22 km/uur, of om precies te zijn  √20800) tot het moment van botsing (t = 0,025)

(daarna zou de snelheid constant -144,22 worden, maar dat deel zal wel niet voorkomen, want er is immers een botsing)

Waarom is v constant?
De schuine zijde van de driehoek tussen auto-overweg-trein wordt constant kleiner omdat al die driehoeken gelijkvormig zijn (de snelheden zijn precies evenredig met de afstanden)
 
       
  d.

       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)