h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y = sin0,5(x - π)
evenwichtslijn y = 0 (de x-as)
amplitude 1
periode  2π/0,5 = 4π
beginpunt x = π, (dus eindpunt x = 5π)

       
  b. y = 2cos3x - 4
evenwichtslijn y = -4
amplitude 2
periode  2π/3
beginpunt 0, dus eindpunt  2/3π

       
  c. f(x) = 6 - 2cos(2(x + 1/4π)
evenwichtslijn y = 6
amplitude 2
periode 2π/2 = π
beginpunt x = - 1/4π  (dus eindpunt x3/4π)
vanwege het minteken begint de grafiek onderaan (gespiegeld)

       
  d. f(x) =  -1/3cos(2x + 1/2π)
f(x) =  -1/3cos(2(x + 1/4π))
evenwichtslijn is y = 0 (de x-as)
amplitude is 1/3
periode is  2π/2 = π
beginpunt is x = -1/4π  (dus eindpunt x = 3/4π)
vanwege het minteken begint de grafiek onderaan (gespiegeld)

       
  e. f(x) = 5 + 3sin(x - 2)
evenwichtslijn y = 5
amplitude is 3
periode is 2π/1 = 2π
beginpunt is x = 2 (dus eindpunt x = 2 + 2π)
 

       
  f. y = 3 - 2sin(x + 1/3π)
evenwichtslijn y = 3
amplitude is 2
periode is 2π/1 = 2π
beginpunt is x = -1/3π (dus eindpunt x = 12/3π)
vanwege het minteken is de grafiek gespiegeld, en begint hij omlaag te gaan in plaats van omhoog.

       
2. a. evenwichtslijn y = -2
amplitude 3
periode is 2/3π dus in de formule staat 2π/2/3π = 3

sinus: beginpunt bijv. x = 1/3π en dat geeft  y = -2 + 3sin3(x - 1/3π)
cosinus: beginpunt bijv. x = -1/6π en dat geeft  y = -2 + 3cos3(x + 1/6π)
       
  b. evenwichtslijn y = 4
amplitude 1
periode is 2π

sinus: beginpunt bijv. x = 3/4π  en dat geeft  y = 4 + sin(x - 3/4π)
cosinus:  beginpunt bijv. x = 11/4π  en dat geeft  y = 4 + cos(x - 11/4π)
       
  c. evenwichtslijn y = 21/2
amplitude  71/2
periode is  2π

sinus:  beginpunt bijv.  x = 0 en dat geeft  y = 21/2 + 71/2sinx
cosinus:  beginpunt bijv. x = 1/2π en dat geeft  y  = 21/2 + 71/2cos(x - 1/2π)
       
  d. evenwichtslijn y = 0
amplitude 3
periode is 10 (halve periode tussen x = -2 en x = 3) dus in de formule staat 2π/10 = π/5

sinus:  beginpunt bijv. x = 3 en dat geeft  y = 2sin π/5(x - 3)
cosinus:  beginpunt bijv. x = -41/2 en dat geeft  y = 2cos π/5(x + 41/2)
       
3. uurwijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 10
periode: 12 uur dus in de formule staat  2π/12 = π/6
beginpunt: begint om drie uur op hoogte H = 0 met omlaag gaan, dus de sinus is gespiegeld.
Dat geeft  U(t) = 15 - 10sin π/6t

minutenwijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 13
periode:  1 uur, dus in de formule staat 2π/1 = 2π
beginpunt: begint om drie uur bovenaan, dus we maken er een cosinus van.
Dat geeft  M(t) = 15 + 13cos2πt

secondewijzer;
evenwichtslijn H = 15
amplitude 14
periode: 1/60 uur dus in de formule staat  2π/1/60 = 120π
beginpunt: begint om drie uur bovenaan, dus we maken er een cosinus van.
Dat geeft  S(t) = 15 + 14cos120πt
       
4. a. evenwichtslijn is A = 0
amplitude is 6500
periode is 7 uur, dus in de formule staat 2π/7
beginpunt:  helemaal rechts, dus maximum, dus we nemen een cosinus.
dat geeft  A(t) = 6500 cos(2π/7t)
       
  b. A(t) = 24000 cos(0,209(t + 12))
de periode is  2π/0,209 = 30,1 uur
       
  c. de afstand is de amplitude en die is 24000 km
       
  d. We zien ze op een plek als de afstand nul is.
Het is een cosinus met periode 30,1 uur, die begint op t = 12
Die is nul na een kwart periode, dus bij t = 12 + 1/4 30,1 = 19,52
(maar ook bij bijv.  12 - 1/4 30,1 = 4,48 en nog veel vaker)
       
  e. hun afstand tot mars moet dan gelijk zijn.
Y1 = 6500 cos(2π/7t)  en Y2 = 24000 cos(0,209(t - 12))
intersect levert dan bijv.  t =  3,22 uur
       
5. a. x(t) = 11 sin3,46(t  - 1,36)
evenwichtslijn x = 0
amplitude 11
periode 2
π/3,46 = 1,82 seconden;  en dat is natuurlijk 60/33
beginpunt: als hij vanaf M naar rechts gaat. Hij begint helemaal rechts, dus dat na 3/4 periode gaat hij vanaf M naar rechts
1,82 3/4 = 1,36
     
  b. Dan verandert de maximale afstand tot het midden en dat is de amplitude. Als de slak naar het midden kruipt wordt de amplitude kleiner.
       
  c. Dan zal een omwenteling korter duren, dus de periode wordt kleiner. Dat betekent dat 3,46 groter zal worden, immers dat is 2π/periode
       
  d. dan verandert er helemaal niets! De slak begint nog steeds vanaf helemaal rechts naar links te gaan met dezelfde snelheid.
       
6. De amplitude is 220
Neem een periode van 2π (de periode doet er helemaal niets toe)
Neem de R-draad beginnend op t = 0 en de S-draad op t = 2/3π  (een-derde periode verschoven)
Dat geeft formules  R(t) = 220sint  en  S(t) = 220sin(t - 2/3π)
Dan is R - S =  220sint  - 220sin(t - 2/3π)
plot deze formule bij Y1 =  en gebruik calc - maximum
Dat geeft een maximaal verschil van  381,05 Volt
       
7. a. werkverkeer:  toppen ongeveer (8.8, 350) en (16.2, 50)
de evenwichtslijn is het gemiddelde van 350 en 50 en is 200
de amplitude is dan 350 - 200 = 150
de afstand tussen de toppen is 16,2 - 8,8 = 7,4 dus de periode is 2 7,4 = 14,8
dan staat in de formule 2π/7,8 = 0,8
beginpunt is t = 5
de formule is dan  W(t) = 200 + 150 sin(0,8(t - 5))

vrijetijdsverkeer:  toppen ongeveer (9.5, 25) en (15.5, 225)
de evenwichtslijn is het gemiddelde van 25 en 225 en is 125
de amplitude is dan 225 - 125 = 100
de afstand tussen de toppen is 15,5 - 9,5 = 6 dus de periode is 2 6 = 12
dan staat in de formule 2π/12 = 0,52
beginpunt is t = 12,5
de formule is dan  V(t) = 125 + 100 sin(0,52(t - 12,5))

       
  b. Totaal aantal is W + V
plot Y1 = 200 + 150 sin(0,8(t - 5)) + 125 + 100 sin(0,52(t - 12,5))
calc - maximum geeft  een maximum van 463
de maximale drukte wordt dus NIET overschreden.
       
8. a. de hoeveelheid varieert tussen 0,5 en 4,5 dus de evenwichtslijn is 2,5 en de amplitude is 2.
per minuut 20 betekent een periode van 1/20 minuut en dat is 3 seconden.
in de formule staat dan 2p/3
op t = 0 zit het minimum dus je kunt er het makkelijkst een gespiegelde cosinus van maken.
dat geeft  L(t) = 2,5 - 2 cos(2π/3 t)
       
  b. 2,5 - 2 cos(2π/3 t)  = 1,5
Y1 = 2,5 - 2 cos(2π/3 X) en Y2 = 1,5 en dan intersect geeft  t =  0,5 seconden
       
  c. De periode verandert naar 60/35 = 1,71 sec, dus in de formule komt nu 2π/1,71 = 3,67
 L(t) = 2,5 - 2 cos(3,67t)
       
9. de gemiddelde hoogte van de toppen is (-2 + 4)/2 = 1 dus de evenwichtslijn is y = 1
de amplitude is dan 3
de horizontale afstand tussen de toppen is 3.
als dat een halve periode is, dan is de periode 6 en staat er in de formule 2π/6 = 1/3π
als dat (bijv.) 1,5 periode is, dan is de periode 4 en staat er in de formule 2π/4  = 1/2π
het beginpunt zit een kwart periode voorbij het minimum (x = 5) en is dus  6,5 of  6 (afhankelijk van de mogelijkheden hierboven)
Dat geeft  y = 1 + 3sin1/3π(x - 6,5)    of   y = 1 + 3sin1/2π(x - 6)
       
10. a. L = 0,40 geeft  T = 2π√(0,40/9,81) = 1,27 dus in de formule staat 2π/1,27 = 4,95
de uiterste stand is 8 cm, dus de amplitude is 8.
de evenwichtslijn is 0
op t = 0 is een maximum (uiterst rechts) dus de grafiek gaat 3/4 periode later door de evenwichtsstand omhoog
dat is bij t = 0,75 1,27 = 0,95
u
(t) = 8 sin(4,95(t - 0,95))   
       
  b. L = 0,50 geeft  T = 2π√(0,50/9,81) = 1,42 dus in de formule staat 2π/1,42 = 4,43
de uiterste stand is 10 cm, dus de amplitude is 10.
de evenwichtslijn is 0
na t = 0 gaat de grafiek gaat 1/2 periode later door de evenwichtsstand omhoog
dat is bij t = 0,5 1,42 = 0,71
u
(t) = 10 sin(4,43(t - 0,71))   
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)