© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. cosx + cos(x - 1/3π) = 1/2√3
2cos 1/2(x + x -  1/3π) • cos 1/2(x - x +  1/3π) =  1/2√3
2cos(x -  1/6π) • cos 1/6π =  1/2√3
cos(x -  1/6π) • √3 =  1/2√3
cos(x - 1/6π) =  1/2
x -  1/6π =  1/3π + k2π  ∨   x -  1/6π = 2π - 1/3π + k2π
x = 1/2π + k2π  ∨   x = 15/6π + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen {1/2π, 15/6π}
       
  b. sin(x + 4/5π) - sin(x - 1/5π) = √2
2sin1/2(x + 4/5π - x + 1/5π) • cos1/2(x + 4/5π + x - 1/5π) = √2
2sin1/2π • cos1/2(2x + 3/5π) = √2
2 • cos(x + 3/10π) = √2
cos(x + 3/10π) = 1/2√2
x + 3/10π = 1/4π + k2π  ∨   x + 3/10π = 2π - 1/4π + k2π
x = -1/20π + k2π  ∨  x = 19/20π + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {19/20π, 119/20π}
       
2. a. sinx + sin2x = sin11/2x
2sin1/2(x + 2x) • cos1/2(x - 2x) = sin(11/2x)
2sin(11/2x) • cos(-1/2x) = sin(11/2x)
2sin(11/2x) • cos(-1/2x) - sin(11/2x) = 0
sin(11/2x) • (2cos(-1/2x) - 1) = 0
sin(11/2x) = 0  ∨  2cos(-1/2x) - 1 = 0
sin(11/2x) = 0  ∨  cos(-1/2x) = 1/2
11/2x = 0 + k2π ∨  11/2x = π + k2π  ∨   -1/2x = 1/3π + k2π  ∨  -1/2x = 2π - 1/3π + k2π
x = 0 + k2/3π  ∨   x = 2/3π + k2/3π  ∨   x = -2/3π + k4π  ∨  x = 21/6π + k4π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {0, 2/3π, 11/3π, 2π}
       
  b. cos3x - cosx = sinx
-2sin1/2(3x + x) • sin1/2(3x - x) = sinx
-2sin(2x) • sinx = sinx
0 = sinx + 2sin(2x) • sinx
0 = sinx • (1 + 2sin(2x))
sinx = 0   ∨   1 + 2sin(2x) = 0
sinx = 0  ∨  sin(2x) = -1/2
x = 0 + k2π ∨  x = π + k2π  ∨  2x = 11/6π + k2π  ∨  2x = π - 11/6π + k2π    
x = 0 + k2π ∨   x = π + k2π  ∨  x = 7/12π + kπ  ∨   x = -1/12π + kπ
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen    {0, 7/12π, 11/12π,  π , 17/12π,  111/12π, 2π}
       
3. a. sinα + sinβ = 2sin1/2(α + β) • cos1/2(α - β)
sinα + sin(1/2π - α) = 2sin1/2(α + 1/2π - α) • cos1/2(α - 1/2π + α)
sinα + cosα = 2sin1/4π • cos1/2(2α - 1/2π)
sinα + cosα = 2 • 1/2√2 • cos(α - 1/4π)
sinα + cosα = √2 • cos(α - 1/4π)
       
  b. sinx + cosx = 1/2
√2 • cos(x - 1/4π) = 1/2    (met het resultaat van vraag a)
cos(x - 1/4π) = 1/4√2
x - 1/4π = cos-1(1/4√2) = 1,21  ∨  x - 1/4π = 2π - 1,21 =  5,07
x = 1,99 ∨  x = 5,86
       
4. a. cosα + cosβ = 2cos1/2(α + β) • sin1/2(α - β)
cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos1/2(x + y + x - y) • sin1/2(x + y - x + y)
cos(x + y) + cos(x - y) = 2cosx • siny
1/2 • {cos(x + y) + cos(x - y)} = cosx • siny
       
  b. cosx = 0,154736  ⇒   x = 1,415436
cosy = 0,573247  ⇒   y = 0.960333
x + y = 2,375769  en  x - y = 0,455103
cos(x + y) = -0,7208117  en  cos(x - y) = 0,898216
1/2 • ( -0,7208117 + 0,898216) = 0,088702
0,154736 • 0,573247 = 0,088702
154736 • 573247 = 0,088702 • 1000000 • 1000000 = 8,8702 • 1010
       
  c. 23667 • 8534212
deel de eerste door 100000 en de tweede door 10000000
0,23667 • 0,8534212
cosx = 0,23667  ⇒  x = 1,3318593
cosy = 0,8534212  ⇒  y = 0,548282077
x + y = 1,8801414  en  x - y = 0,783577223
cos(x + y) = -0,3044349  en  cos(x - y) = 0,7083932
1/2 • (-0,3044349 + 0,7083932) = 0,20198
23667 • 8534212 = 0,20198 • 100000 • 10000000 = 2,0198 • 1011
       
5. a. xP = xQ 
⇒  11/10t = t + 2/3π  ∨  11/10t = 2π - t - 2/3π
⇒  t = 20/3π  ∨  t = 40/63π

yP = yQ 
⇒  11/10t = t + 2/3π  ∨  11/10t = π - t - 2/3π
⇒  t = 20/3π  ∨  t = 10/63π

De eerste t die gelijk is, is  t = 20/3π ≈ 21 sec.

Op de natuurkunde manier:
de periode van P is 10/11 • 2π dus in 20/11π sec draait P over 2π rad, dat is  2/20/11 = 1,1 rad/sec
de periode van Q is 2π dus in 2π sec draait Q over 2π rad, dat is 1 rad/sec
per seconde loopt P dus 0,1 rad in.
P moet in totaal 2/3π rad inhalen, dus dat kost 20/3π seconden.
       
  b. De omtrek van de cirkel is 2π • 5 = 10π cm
10π cm komt overeen met 360Ί, dan komt 20 cm overeen met  (20 • 360)/(2π) ≈ 229Ί
       
  c. xM = 1/2 • ( 5cos 11/10t + 5cos(t + 2/3π))
 = 2,5 • (cos 11/10t + cos(t + 2/3π))
=  2,5 • 2cos1/2(11/10t + t + 2/3π) • cos1/2(11/10t - t - 2/3π)
 = 5 • cos(21/20t + 1/3π) • cos(1/20t - 1/3π)

Op dezelfde manier:  yM = 5 • sin(21/20t + 1/3π) • cos(1/20t - 1/3π)

Kennelijk moet gelden  φ = 5cos(1/20t - 1/3π)
       
6. a.
    dus  x(t) = 2cos(8,5t)cos(6,5t)  en  y(t) = 2sin(8,5t)cos(6,5t)
Neem r(t) = 2cos(6,5t) dan staat er  x(t) = r(t)•cos(8,5t)  en   y(t) = r(t)•sin(8,5t)
       
  b. In de oorsprong is x(t) = 0  en y(t) = 0
Dat kan alleen als r(t) = 0, want cos(8,5t) en sin(8,5t) kunnen nooit tegelijk nul zijn
cos(6,5t) = 0  geeft  6,5t = 0,5π + kπ
dat geeft  t  = (1/13)π + k •  (2/13)π
tussen 0 en 2π  geeft dat de oplossingen  (1/13)π, (3/13)π, (5/13)π, ... , (25/13)π, en dat zijn er 13.
       
7. Gebruik de formule sina + sinb = 2sin1/2(a + b) • cos1/2(a - b)
sinx + sin(x + 1/3π) = 2sin1/2(x + x + 1/3π) • cos1/2(x - x - 1/3π)
= 2sin(x + 1/6π) • cos(-1/6π)
= 2 • 1/2√3 • sin(x + 1/6π)
= √3 • sin(x + 1/6π)  dus   1/2(f + g) = 1/2√3 • sin(x + 1/6π)
Dus  a = 1/2√3  en b = 1/6π  
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)