h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. zie de afbeelding hiernaast.
de motorboot vaart route ABC en legt in 4 uur 320 km af, dus x + y = 320
het schip vaart in 4 uur 128 km, dus AC = 128.
de hoeken van driehoek ADC zijn 45 en 90, dus geldt
sin45 = AD/128  ⇒  AD = 128 sin45 = 90, 51
cos45 = CD/128   ⇒  CD = 128 cos45 = 90,51

Pythagoras in driehoek BDC:
BD2 + DC2 = BC2
(90,51 + x)2 + 90,512 = y2  = (320 - x)2
90,512 + 2 90,51 x + x2 + 90,512 = 3202 - 2 320 x + x2
16384 + 181,02x + x2 = 102400 - 640x + x2
821,02x - 86016 = 0
x = 104,8 km
       
2. tan50 = 10/AC  AC = 10/tan50 = 8,39

cos20 = AC/AD = 8,39/AD  ⇒  AD = 8,39/cos20 = 8,93 m
       
3. a. AQ = 1,5
tanAPQ = 1,5/2  = 0,75 ⇒  ∠APQ = tan-10,75 = 36,87
dan is ∠APD = 73,74

     
  b. BQ = 1/8AQ = 0,1875
tanBPQ = 0,1875/2 = 0,0,09375  ⇒  ∠BPQ = tan-10,09375 = 5,356
dan is ∠BPQ = 2 5,356 = 10,712
     
  c Trek PQ helemaal door tot de bodem van de put, en noem dat punt R.
in driehoek RQP:  tan5,356 = 1,5/PR
PR = 1,5/tan5,356 = 16
dan is de punt 16 - 2 = 14 meter diep.
       
4. a. de weg is 10 m breed, dus AD = 3,5
het touw is 14 m lang, dus AC = 5,5

cosDAC = 3,5/5,5 = 0,6364  ⇒  ∠DAC = cos-10,6364 = 50,48
dan is a = 90 - 50,48 = 39,52

     
  b. tan50,48 = h/3,5  h = 3,5 tan50,48 = 4,24 m
(het kan natuurlijk ook via Pythagoras in driehoek ADC)
       
5. tan40 = 8/AD  ⇒  AD = 8/tan40 = 9,534

dan is  BD = 12 - 9,534 = 2,466

tanα = 10/2,466 = 4,055 ⇒   α = tan-1 4,055 = 76.1
       
6. zie de figuur hiernaast.

sinα = 2,5/9 = 0,278  ⇒  α = sin-10,278 = 16,1

de hoek tussen de benen is dan 2 16,1 = 32,2

       
7. a. Als de hoek met de bodem 50 is, dan is ∠SQP = 40
zie de figuur hiernaast.
sin20 = 0,5x/460  
0,5x = 460 sin20 = 157,3
x = 2 157,32 = 314,6

     
  b. bekijk driehoek PTR
tanTPR = 2,5/2 = 1,25  ⇒  ∠TPR = tan-11,25 = 51,3
de hoek waarover moet worden gedraaid is 90 - 51,3 = 39,7
       
    van driehoek PQR in de nieuwe situatie is  PR2 = 2002 + 2502 =102500  dus   PR = √102500 = 320,16
verder is PQ = 460
als Q recht boven R moet komen, dan is PRQ een rechte hoek.
cosQPR = PR/PQ = 320,16/460 = 0,696  ⇒  ∠QPR = 45,9
dan is ∠QPS = 90 - 45,9 = 44,1
zie weer de figuur hierboven, de hoeken van 20 zijn nu gelijk aan 44,1/2 = 22,05
sin22,05 = 0,5x/460  
0,5x = 460 sin22,05 = 172,69
x = 2 172,69 = 345,4
       
8.

Bekijk de driehoek op de grond en teken de hoogtelijn.
                sin1 = x/200   geeft  x = 200 sin1 = 3,49
                de afstand is dan 2 3,49 = 6,98 meter

       
9. a. AD2 + 30= 1002 
AD2 = 10000 - 900 = 9100
AD = √9100 = 95,4

AD2 + 1202 = AC2
9100 + 14400 = AC2
AC = √23500 = 153,3

     
       
  b. zie de figuur hiernaast.
cosβ = BD/100  ⇒  BD = 100 cosβ
omdat B al op hoogte 280 ligt, is de hoogte van A gelijk aan 
h = 280 + 100cosβ
 

       
  c. bij 250 m boven de grond was AD = 95,4 (vraag a)
zie de figuur hiernaast.

tan∠PBE = 580/85 = 6,82   ⇒  ∠PBE = 81,66

tan∠ABD = 95,4/30 = 3,18  ⇒  ∠ABD = 72,54

omdat ∠ABD < ∠PBE kan de speler WEL iets van het frame zien.
       
10. a. De oppervlakte van de rechthoek is 10 30 = 300
De twee halve cirkels zijn samen een hele cirkel met straal 5, en die heeft oppervlakte π 52 = 25π
Samen is dat 300 + 25π = 379 cm2
       
  b. Het vooraanzicht is als hiernaast.
Daarin zie je dat sin40 = h/20
Dus h = 20 sin40 = 12,9

Het doosje moet dus minstens 13 cm hoog zijn.
       
11. noem de zwarte lijnstukjes allemaal x, dan zijn de roden ook x

kies een gelijkbenig driehoekje met twee zijden x en de derde zijde blauw (B)
teken de hoogtelijn daarin.
de tophoek is 120
dan geldt  sin60 = 0,5B/x
B = 2x sin60
B = x√3 dus de verhouding is 1 : √3

       
12. a. Bij een tienhoek zijn de hoeken bij het middelpunt gelijk aan 36.
Dan geldt in de driehoek rechtsonder:  sin18 = 4/MR
MR = 4/sin18 = 12,944
     
  b. Bekijk driehoek MPQ.
De hoek bij M is 4 36 = 144
teken de hoogtelijn van M op PQ. Dan heb je twee halve driehoeken met een rechte hoek.
sin72 = x/12,944
x
= 12,944 sin72 = 12,31
Dan is PQ = 2 12,31 = 24,62 
       
13.

       
  Hierboven zie je de baan van het middelpunt, met daarnaast de hoeken uitvergroot.

De twee blauwe hoeken zijn samen een hoek van de grote driehoek en daarvoor geldt  tanα = 6/8  dus  α = 36,87
Dan is zo'n blauwe hoek 18,43
dan is  tan18,43 = 0,5/a  dus  a = 0,5/tan18,43 = 1,5

De twee groene hoeken zijn samen  90 - 36,87 = 53,13 dus elke is 26,57
dan is tan(26,57) = 0,5/b  dus  b = 0,5/tan(26,57) = 1

De driehoek die het middelpunt aflegt heeft dan zijden  (8 - 0,5 - 1,5)  en  (6 - 0,5 - 1) en (10 - 1,5 - 1)
Dat is samen 6 + 4,5 + 7,5 = 18 cm

       
14. a. Noem de hoek bij het middelpunt van de aarde a.
Dan geldt:  cosα = (6387/(h + 6378))  dus  α = cos-1((6387/(h + 6378))

De blauwe afstand is dan R α en dat geeft de gevraagde formule

     
  b. h = 0,1 geeft  d = 6378 cos-1(6378/6378,1) = 6378 0,005599 = 35,7 km
       
  c. cosα = (R/(R + h)) = 1 - 0,5α2   uit vraag a)
0,5α2 = 1 - R/(R + h) = (R + h)/(R + h) - R/(R + h) = h/(R + h)
 
     
     
       
  d. h = 0,1 geeft met de formule  d = 35,71530951  en vraag c) leverde d = 35,71526285
Dat scheelt 0,000047 kilometer en dat is 4,7 cm
       
15.

       
  tan(β) = 1/8  ⇒  β = 7,13
tan(α + β) = 3/8  ⇒  α + β = 20,56
Dan is de kijkhoek  20,56 - 7,12 = 13,43

tan(β) = 1/7  ⇒  β = 8,13
tan(α + b) = 3/7  ⇒  α + β = 23,20
Dan is de kijkhoek  23,20 - 8,13 = 15,07

De hoek is dus 1,64 groter geworden.
       
16. cos50 = x/6  dus  x = 6 cos50 = 3,86 m

De hoogte is dan 4,86 m.

       
17. Noem de horizontale afstand tot de toren in het tweede geval x, en de hoogte van de toren h
tan41 = h/x  geeft  h = xtan41
tan34 = h/(x + 100)  geeft dan  tan34 = xtan41/(x + 100)
(x + 100)tan34 = xtan41
xtan34 + 100tan34 = xtan41
100tan34 = x(tan41 - tan34)
67,451 = x 0,1948
x = 346,3
h = 301 meter
       
18. sinβ tanβ = b/a b/c = b/ac = (a - c)/ac = a/c - c/a   dus antwoord  d.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)