Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vul de oplossing y = 0,5 • (e^cx - e^-cx) gewoon in in de vergelijking y' = c • √(1 + y²)
Dat geeft:

y' = 0,5 • (ce^cx + ce^-cx)

c • √(1 + y²)
= c • √(1 + (0,5(e^cx - e^-cx))² )
= c • √(1 + 0,25(e^2cx - 2e^cx•e^-cx + e^-2cx))
= c • √(1 + 0,25(e^2cx + e^-2cx - 2))
= c • √(0,5 + 0,25e^2cx + 0,25e^-2cx )
= c • √(0,25(2 + e^2cx + e^-2cx)) (haal 0,25 buiten haakjes zodat die buiten de wortel kan)
= c • 0,5√(e^2cx + 2 + e^-2cx) (2 kun je zien als 2 • e^cx • e^-cx , dan staat er √(a² + 2ab + b²))
= c • 0,5√((e^cx + e^-cx)²)
= c • 0,5 • (e^cx + e^-cx)
En daar staat inderdaad precies de y' van bovenaan.

De helft van het touw heeft lengte 40 cm.
h' = ¹/₂ • (e^cx- e^-cx) = c • 40 waarbij x de horizontale afstand is, in dit geval 20
Y1 = 0,5 * (e^(20X) - e^(-20X)) en Y2 = 40X en dan intersect geeft c = 0,1089
Dat geeft de vergelijking h(x) = 4,591 • (e^0,1089x + e^-0,1089x)

De ophangpunten zijn x = ±20
De helling is gelijk aan h': h' = 4,591 • (0,1089 • e^0,1089x - 0,1089 • e^-0,1089x)
Dat geeft h'(20) = 4,357 en dat is de helling is het rechter ophangpunt.

(De ketting maakt met de horizontale lijn een hoek waarvoor tanα = 4,357 dus α = 77,1º
Dus met de ophangpaal maakt de ketting een hoek van 12,9º)

x₁ = 0 en x₂ = 60 en y₁ = 120 en y₂ = 90
y₁ - y₂ = 30
vergelijking (1) wordt dan :   30 = ¹/_2c • (e^c^{(0
- x0)} + e^{-c(0 - x0)} - e^c⁽⁶⁰ ^-^x0) - e^{-c(60 - x0)} )
vergelijking (2) wordt dan:   ¹/_2c • (e^c^{(x0
- 0)} - e^-c^{(x0 - 0)} + e^c^{(60 - x0)} - e^{-c(60
- x0)})
een aantal c's gokken geeft achtereenvolgens:   (L moet 150 worden)

c	0,1	0,05	0,08	0,085	0,083	0,084	0,0839	0,08398	0,08399
x₀	31,492	36,907	32,722	32,341	32,487	32,413	32,420	32,414	32,4137
L	202,59	90,301	139,91	152,73	147,40	150,03	149,77	149,977	150,005

Laten we die laatste maar als benadering nemen
Dat geeft:

Dat geeft h(0) = 181,176 dus dat moet nog 121,176 omlaag worden geschoven
De formule wordt dan: