h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 2x + 8  = -4x - 5
6x = -13
x = -13/6
y = 2 -13/6  + 8 = 32/3  
Het snijpunt is (-13/6, 32/3)
       
  b. 3x + 6  =  7x
6 = 4x
x
= 11/2
y = 6 11/2 = 101/2
Het snijpunt is (11/2 ,101/2 )
 
       
  c. 5 - 2,5x  =  4x + 9
-4 = 6,5x
x
= -8/13 
y  =  4 -8/13 + 9 = 85/13
Het snijpunt is  (-8/13, 85/13 )
 
       
  d. 6  = -12x + 3
3 = -12x
x
= -1/4
y = 6
Het snijpunt is  (1/4 , 6)  
 
       
2. Maak formules voor de lijnen die de ladders voorstellen.

Pythagoras voor de ladder van 13 geeft:  a2 + 122 = 132  ⇒ a2 = 169 - 144 = 25  ⇒  a = 5
De lijn van de ladder van 13 gaat door  (0, 5) en (12,0)
helling is 80/21= (0 - 5)/(12 - 0) = -5/12
beginpunt is (0, 5) dus de vergelijking is  y = -5/12x + 5

Pythagoras voor de ladder van 20 geeft  a2 +  122 = 202  ⇒  a2 = 400 - 144 = 256   ⇒  a = 16
De lijn van de ladder van 20 gaat door  (0,0 ) en  (12, 16)
de helling is  Δy/Δx = (16 - 0)/(12 - 0) = 16/12 4/3
beginpunt is (0,0) dus de vergelijking is  y = 4/3x

Snijpunt van beide lijnen:
-5/12x + 5 = 4/3x
13/4x = 5
x = 20/7
y4/3 20/7 80/21
  De ladders kruisen elkaar op hoogte 80/21   ( ≈ 3,81)
       
3. Noem t = 0 mijn 11e verjaardag, en neem t in jaren.

Mijn grafiek is dan een rechte lijn door  (0, 135)  en  (4, 165)
a = Δy/Δt = (165 - 135)/(4 - 0) = 7,5
b = 135 want dat is het beginpunt.
Mijn lijn heeft vergelijking  y = 7,5t + 135

De grafiek van het boompje is een rechte lijn door  (0, 90) en (4, 270)
a = Δy/Δt = (270 - 90)/(4 - 0) = 45
b = 90 want dat is het beginpunt.
De lijn van het boompje heeft vergelijking  y = 45t + 90

Snijpunt:  7,5t + 135 = 45t + 90
45 = 37,5t
t
= 1,2
t = 0 was op mijn elfde verjaardag, dus wij zijn even lang als ik  12,2  jaar ben.
       
4. a. Bereken ΔB/ΔK voor de opeenvolgende waarden van de tabel:
(18 - 19.2)/(100 - 70) = -1,2/30 = -0,04
(17.2 - 18)/(120 - 100) = -0,8/20 = -0,04
(14.8 - 17.2)/(180 - 120) = -2.4/60 = -0,04
(14.4 - 14.8)/(190 - 180) = -0,4/10 = -0,04
Dat is allemaal gelijk dus is het verband lineair.
Die -0,04 is meteen het hellinggetal.
B = -0,04K + b
Vul een punt in, bijv. :  19,2 = -0,04 70 + b  geeft  b = 22
De vergelijking is dan B = -0,04K + 22
       
  b. Alleen rijden  is bij K = 0 en geeft B = 22
15% lager geeft  B = 0,85 22 = 18,7
18,7 = -0,04K + 22
-0,04K = -3,3
K = 82,5
De Wilde weegt 82,5 kg.
       
  c. aantal liter = aantal kilometers/bereik
Als het bereik 15% lager wordt,  dan wordt het bereik vermenigvuldigd met 0,85
Dan wordt het aantal liter vermenigvuldigd met 1/0,85 = 1,1765
De kosten worden dus 17,65% hoger.
       
5. a. Eerst het snijpunt van de laatste twee berekenen:
2x - 4  = 8 + 6x
-12 = 4x
x
= -3
y =  2x - 4 = -6 - 4 = -10
Het snijpunt is (-3,-10)
Dat punt moet dan ook op de derde lijn liggen.
Vul het daar in:    -10 = 3 -3 + p
-
10 = -9 + p
p  = -1
       
  b Bereken het snijpunt van de laatste twee:
qx
+ 5 = x + 7
qx - x = 2
x(q - 1) = 2
x = 2/(q - 1)
dat geeft  yx + 7 = 2/(q - 1) + 7
Het snijpunt is  (2/(q - 1), 2/(q - 1) + 7) 

De derde lijn moet ook door dat punt gaan:
y = 5x + q  geeft dan   2/(q - 1) + 7 = 5 2/(q - 1) + q
Vermenigvuldig met (q - 1):
2 + 7(q - 1) = 10 + q(q - 1)
2 + 7q - 7 = 10 + q2 - q
q
2 - 8q + 15 = 0
(q - 5)(q - 3) = 0
q = 5   ∨  q = 3
Maar voor q = 5 zijn de eerste en tweede lijn gelijk.  Dus blijft over q = 3
       
6. a. De lijn gaat bijv. door  (5, 85)  en  (25, 125)
a = Δy/Δx  = (125 - 85)/(25 - 5) = 40/20 = 2
85 = 2 5 + b geeft dan b = 75
De lijn is  s = 2m + 75
     
  b. Bijv. door  (10, 66)  en  (20, 116)
Zie hiernaast.
     
  c. 5m + 16 = 2m + 75
3m = 59
m = 192/3 cm en dat is ongeveer 197 mm
       
  d. Schuif de rode en de  is voor m ongeveer tussen blauwe lijn 2 cm omhoog en 2 cm omlaag.
In het gele gebied kunnen problemen ontstaan.
Dat is voor  m ongeveer tussen 18,5 en 21
7. a. 6 - 3x = 2x + 8
-2 = 5x
x
= -0,4
6 - 3x < 2x + 8 geldt dan voor  x in  〈-0.4, →〉
       
  b. 5x + 3 =  12 - 7x
12x = 9
x = 9/12 = 0,75
5x + 3  ≥  12 - 7x   geldt dan voor x in  [0.75,  →〉
       
  c. 4 - 3x  = 9x + 2
2 = 12x
x
= 2/12 = 1/6.
4 - 3x  ≤  9x + 2  geldt dan voor x in  [1/6,  →〉
       
  d. 6x + 12  = -4x - 19
10x = -31
x = -3,1
6x + 12  > -4x - 19  geldt dan voor x in  〈-3.1, →〉 
       
8. a. Dat is de lijn met de kleinste helling en dat is die van Telfort.
       
  b. Telfort:  lijn door (40, 30) en (90, 35)
a = Δy/Δx  = (35 - 30)/(90 - 40) = 5/50 = 0,1
30 = 0,1 40 + b geeft b = 26  dus de lijn is  y = 0,1x + 26

Debitel:  lijn door (0, 15)  en  (100, 35)
a = Δy/Δx  =  (35 - 15)/(100 - 0) = 20/100 = 0,2
de beginwaarde is b = 15 dus de formule wordt  y = 0,2x + 15

Vodafone:  lijn door  (0,10) en (50, 25)
a = Δy/Δx  =  (25 - 10)/(50 - 0) = 15/50 = 0,3
de beginwaarde is b = 10 dus de formule wordt  y = 0,3x + 10

Kijk nu naar de figuur welke snijpunten je moet uitrekenen:

snijpunt Vodafone en Debitel:  0,2x + 15 =  0,3x + 10
5 = 0,1x   ⇒   x = 50  (maar goed, dat was ook wel gewoon af te lezen)

snijpunt Debitel en Telfort:  0,2x + 15 = 0,1x + 26
0,1x = 11     x = 110 

aflezen uit de grafiek:
Voor  0 < x < 50  is Vodafone de goedkoopste
Voor  50 < x < 110  is Debitel de goedkoopste
Voor x > 110  is Telfort de goedkoopste.

       
  c. De goedkoopste nu is Debitel:  de grafiek gaat door (100, 35)
De nieuwe aanbieder heeft de formule  y = 30 + ax
Die gaat door  (100, 35) als   35 = 30 + 100a  ⇒ 100a = 5  ⇒  a = 0,05
Men moet dus minder dan 5 cent per belminuut gaan vragen om de goedkoopste te zijn.
       
9. Voor de eerste jogger gaat de lijn door (0,0) en (60, 12)  (in 60 minuten immers 12 km)
a = Δy/Δx  = (12 - 0)/(60 - 0) = 0,2
De beginwaarde is b = 0 want de lijn gaat door (0,0) dus de formule, is s = 0,2t

Voor de tweede jogger gaat de lijn door (15, 0)  en  (75, 14)  immers na 60 minuten heeft hij 14 km afgelegd
a = Δy/Δx  = (14 - 0)/(75 - 15) = 14/60 = 7/30
0 = 7/30 15 + b  geeft  b = -31/2  dus de formule is  s = 7/30t - 31/2.

snijpunt:  0,2t = 7/30t - 31/2
1/30t = 31/2
t = 105 minuten
De eerste jogger loopt vr de tweede voor 0 < t < 105
       
10. a. Het bedrag per km is het hellinggetal a
Het basisbedrag is de beginwaarde b

Budget:  K = 400 + 2,5a
Mast:  K = 550 + 1,6a
Nieuwenhuis:    K = 7a  voor  0 < a < 100
      Boven de 100 km gaat de lijn door (100, 700) en heeft helling 1,50
      700 = 1,50 100 + b  geeft  b = 550, dus is de formule K = 550 + 1,50a
       
  b. Dat geeft de grafieken hiernaast.

de twee gele punten:

7a = 400 + 2,5a
4,5a = 400
a =  800/9

550 + 1,5a = 400 + 2,5a
150 = a

Dus
voor 0 < a < 800/9  is Nieuwenhuis het goedkoopst
voor  800/9 < a < 150 is Budget het goedkoopst
voor a > 150 is Nieuwenhuis het goedkoopst

(Mast is nooit het goedkoopst) 
       
11. a. LPG:
Bij 0 km betaalt hij alleen de wegenbelasting, dus de lijn gaat door (0, 710)
Bij bijv. 110 km betaalt hij 10 liter en dat kost 9,8 euro, dus de totale kosten zijn dan  519,8.
De lijn gaat ook door (110, 519.8)
a = Δy/Δx  = (519.8 - 510)/(110 - 0) = 0,089
b is de beginwaarde en die is 710
De vergelijking is dan y =  0,089x + 710

Benzine:
Bij 0 km betaalt hij alleen de wegenbelasting, dus de lijn gaat door (0, 430)
Bij bijv. 140 km betaalt hij 10 liter en dat kost 17,5 euro, dus de totale kosten zijn dan  447,5.
De lijn gaat ook door (140, 447,5)
a = Δy/Δx  = (447,5 - 430)/(140 - 0) = 0,125
b is de beginwaarde en die is 430
De vergelijking is dan y =  0,125x + 430
       
  b. 0,089x + 710 = 0,125x + 430
280 = 0,0359x
x
= 7797  (met de onafgeronde getallen uitgerekend)

Dus bij meer dan 7797 km kan de automobilist beter LPG gebruiken.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)