h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Het toenamendiagram van een kwadratische functie.
       
Je ontdekt iets aparts als je het toenamendiagram van een kwadratische functie bekijkt.  Met een kwadratische functie bedoel ik:  "Een formule met als hoogste macht van x een kwadraat". Er mogen behalve x2  dus ook nog best stukken met x of losse getallen in de formule staan.
In de meest algemene vorm zal zo'n functie er (na vereenvoudigen een haakjes wegwerken en zo) z uit zien: 
y
= ax2 + bx + c  (met a, b en c constante getallen)

De meest eenvoudige kwadratische functie is natuurlijk y = x2 .
Laten we daar een toenamendiagram van maken:
       
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
Δy - -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9
       

       
Links zie je het toenamendiagram, rechts wat dat met de grafiek zelf te maken heeft.
Aan dat toenamendiagram zal je direct n ding opvallen hoop ik:  die uiteinden liggen op een rechte lijn!! 
En nou komt het aparte:  dat is bij elke kwadraatformule zo!
       

de bolletjes van  het toenamendiagram van een parabool liggen op  een rechte lijn.

       
Het bewijs van deze alleraardigste eigenschap

De meest algemene kwadratische functie is  f(x) = ax2 + bx + c

Maar ga je dan n stapje naar rechts, dan wordt x dus n groter en dan krijg je de nieuwe y die daarbij hoort door voor x nu x + 1 in de formule in te vullen:

f
(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c 
   = a(x2 + 2x + 1) + bx + b + c
   = ax2 + 2ax + a + bx + b + c
   = ax
2 + bx + c + 2ax + b + c

Maar dat eerste stuk  ax2 + bx + c  dat was de oude y
Dus dat deel  2ax + b + c  dat is het deel dat er bij is gekomen, dus dat is de lengte van het stokje van het toenamendiagram.  
Maar dat is een  een oude bekende:  y = 2ax + b + c  is de vergelijking van een rechte lijn!  (met hellinggetal 2a en beginpunt  b + c)

Daarmee is het bewijs geleverd.
   
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)