somproductmethode

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Ja, dat kan ik me goed voorstellen.

(Als leraar moet je altijd tegen je leerlingen zeggen dat je je hun probleem goed kunt voorstellen.....schijnt didactisch verantwoord te zijn...)

Oké, laten we met het begin van een kwadratische vergelijking beginnen.
Zo gauw je iets ziet met kwadraat, dan zou ik alles naar een kant brengen (met de balansmethode natuurlijk) zodat er "= 0 " komt te staan.
Als je alles met x en alles met x² en alles zonder een x dan bij elkaar neemt, dan ziet het er zó uit:

In die rondjes kan nog van alles staan natuurlijk.
Neem eerst de gevallen waarbij er vóór de x² (dus in dat eerste rondje) niets staat. Eigenlijk staat er dan trouwens een 1.
Dan ziet het er dus zó uit:

Los van al die x-en en zo staan er nog maar twee "echte"getallen in de formule, waarvan er eentje is gekoppeld aan x (het rode rondje) en eentje helemaal alleen staat (het blauwe rondje).

Eerst maar even oefenen.
Leg bij de volgende formules uit wat het rode rondje is en wat het blauwe!
Denk daarbij om twee dingen:
• vereenvoudig eerst zoveel mogelijk; dat wil zeggen: neem alles bij elkaar wat bij elkaar kan.
• zorg dat er " = 0 " staat. Als dat niet zo is, zorg er dan eerst met de balansmethode voor dat het wél zo is.


x² - 3x + 5 = 0	-3	5
4 + x² - 8x = 0	-8	4
2x + 7 + x² = 0	2	7
x² + 5x - 6 = 4	5	-10
x² + 6 - 2x = 3x	-5	6
3x + 2 + x² - 6 = 0	3	-4
x + x² - 6 + 2x = 0	3	-6

Denk erom dat je niet verder gaat voordat je deze opgaven goed begrijpt!!!

Oké. Volgende stap.

Kijk nu eerst naar het alleenstaande getal: het blauwe rondje! Probeer daar zoveel mogelijk vermenigvuldigingen van twee gehele getallen mee te maken, en schrijf die in een tabelletje.

Voorbeeld: stel dat het blauwe getal gelijk is aan 18.
Dan zou dat de mogelijkheden hiernaast geven. Denk erom dat negatief × negatief = positief!
Je hoeft de "andere" mogelijkheden 18 × 1 en 9 × 2 enz. niet op te schrijven, want dat zijn precies dezelfde twee getallen. De volgorde is niet van belang.

Maar bij een negatief getal zijn er wel meer mogelijkheden, immers 5 × -2 zijn andere getallen
dan -5 × 2.

Kijk nu eerst of je de volgende tabelletjes "begrijpt":

18 =

1 ×18
2 × 9
3 × 6
-1 × -18
-2 × -9
-3 × -6

12 =

1 × 12
2 × 6
3 × 4
-1 × -12
-2 × -6
-3 × -4

-20 =

-1 × 20
-2 × 10
-4 × 5
1 × -20
2 × -10
4 × -5

-45 =

-1 × 45
-3 ×15
-5 × 9
1 × -45
3 × -15
5 × -9

10 =

1 × 10
2 × 5
-1 × -10
-2 × -5

Denk er weer om dat je niet verder gaat voordat je deze tabelletjes goed begrijpt!!!

Oké, Laatste stap.

Schrijf nu van al die gevonden tweetallen uit de tabelletjes op hoeveel er uitkomt als je ze bij elkaar optelt. Dat zou er voor de vier tabelletjes hierboven zó uitzien:

12 =		+
1 × 12 2 × 6 3 × 4 -1 × -12 -2 × -6 -3 × -4	1 + 12 = 2 + 6 = 3 + 4 = -1 + -12 = -2 + -6 = -3 + -4 =	13 8 7 -13 -8 -7

-20 =		+
-1 × 20 -2 × 10 -4 × 5 1 × -20 2 × -10 4 × -5	-1 + 20 = -2 + 10 = -4 + 5 = 1 + -20 = 2 + -10 = 4 + -5 =	19 8 1 -19 -8 -1

-45 =		+
-1 × 45 -3 ×15 -5 × 9 1 × -45 3 × -15 5 × -9	-1 + 45 = -3 + 15 = -5 + 9 = 1 + -45 = 3 + -15 = 5 + -9 =	44 12 4 -44 -12 -4

10 =		+
1 × 10 2 × 5 -1 × -10 -2 × -5	1 + 10 = 2 + 5 = -1 + -10 = -2 + -5 =	11 7 -11 -7

En dan komt het spannende moment: Nu is het te hopen dat één van de getallen uit de rode kolom precies het getal in het rode rondje van je vergelijking is. Als dat "matcht", dan ben je klaar, en heb je een manier gevonden om jouw kwadraatvergelijking te veranderen in een vergelijking met haakjes.

Voorbeeld.: Ontbind in factoren: x² - 8x - 20 = 0

Oké, het alleenstaande (blauwe) getal is hier -20, dus daar maak je een tabelletje mee.
Dat zie je hiernaast.

Jawel! BINGO!! Daar in die laatste kolom staat -8, en dat is het getal dat bij de x in onze vergelijking staat.
De gevonden getallen daarbij uit de tabel zijn 2 en -10

Daarom kun je schrijven : x² - 8x - 20 = (x + 2)(x - 10)

-20 =		+
-1 × 20 -2 × 10 -4 × 5 1 × -20 2 × -10 4 × -5	-1 + 20 = -2 + 10 = -4 + 5 = 1 + -20 = 2 + -10 = 4 + -5 =	19 8 1 -19 -8 -1

Nou, zo werkt dat dus. Volgens mij kom je er zo altijd uit......