© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een paar toepassingen van Taylorreeksen.

Het voordeel van reeksontwikkelingen is dat allerlei eigenschappen (zoals afgeleiden, functiewaarden en integralen) van "moeilijke"  functies vaak een stuk makkelijker worden als we er "normalere" machtsfuncties van maken. Dat rekenen met machten gaat nou eenmaal vrij makkelijk.....
Die machtsreeksen zijn dan wel oneindig groot, maar een aantal termen ervan geven vaak toch al een goede benadering.\

Hier zijn een paar voorbeeldjes van "moeilijke" problemen die met behulp van machtsreeksen een stuk makkelijker worden
       
OPGAVE 1.

Bereken de lengte van de grafiek van   y = 1/3x3  voor  0 < x < 1/2
 
Met een integraal zou dit probleem de volgende oplossing hebben: 

Maar tja.... hoe primitiveer je die integrand?
Via een reeksontwikkeling is 't een makkie:

= 0,5 + 0,003125 - 0,0000271 + 0,000000587 - ..... = 0,5031.....

Let op hoe snel dat convergeert!
       
OPGAVE 2.

       
Alweer geen makkelijke integraal.
Met een reeksontwikkeling:

=  1 - 0,055555 + 0,001667 - 0,000028 +  .... = 0,946....
       
OPGAVE 3.

Los op:   y '  =  -xy2    met  y(0) = 2

       
Stel dat y te schrijven is als:   y =  Σ aixi  = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 ...      (1)
Dan  is  y'  = a1 + 2a2x  + 3a3x2 + 4a4x3 +  ....
En verder is   y2 = (a0)2 + (2a0a1)x + (2a0a2 + a12) • x2 +  (2a0a3 + 2a1a2) • x3 +     .....
Dus is 
-xy2 =  -(a0)2 • x - (2a0a1) • x2 - (2a0a2 + a12) • x3 - (2a0a3 + 2a1a2) • x4 -     .....    (2)  

Begin met  y(0) = a0 = 2
Stel vervolgens  van (1) en (2)  de overeenkomstige coλfficiλnten van de machten van x aan elkaar gelijk:
  •  a1 = 0
  •  2a2 = -(a0)2 = -4   dus  a2 = -2
  •  3a3 = -2a0a1 = 0  dus  a3 = 0
  •  4a4 = -2a0a2 - a12 = 8  dus  a4 = 2
enz. 
Dat geeft uiteindelijk de oplossing   
y = 2 - 2x2 + 2x4 - 2x6 + 2x8 - ....  =  2 • (1 - x2 + x4 - x6 + x8 - ....)

Kenners onder ons zien uiteraard direct dat daar achteraan de reeksontwikkeling staat van  
y = 2/(1 + x²)  en dat is inderdaad precies de exacte oplossing van deze differentiaalvergelijking  (ga zelf maar na).
       
OPGAVE 4.

Los op:   y''  =  2xy' +  4y   met    y(0) = 0 en  y'(0) = 1

       
Zelfde truc als hierboven maar:
Stel dat y te schrijven is als:   y =  Σ aixi  = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 ...      (1)
y ' =  a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + 5a5x4 + ....
y''  =  2a2 + 2 • 3 • a3x + 3 • 4 • a4x2 + 4 • 5 • a5x3 + ...
2xy' + 4y  = (2a1x  + 2 • 2a2x2   + 2 • 3a3x3 + ...) +  (4a0 + 4a1x + 4a2x2 + 4a3x3 + ...) 
Coλfficiλnten gelijkstellen, en beginnen met  a0 = 0  en  a1 = 1:   
  2a2  = 4a0  = 0  geeft  a2 = 0
2 • 3 • a3 =  2a1 + 4a1 = 6  geeft  a3 = 1
3 • 4 • a4 =  2 • 2a2 + 4a2 = 0  geeft  a4 = 0
4 • 5 • a5 =  2 • 3a3 + 4a3 = 10  geeft  a5 = 1/2  
ik zie hier een regelmaat:   a0 = a2 = a4 = a6 = ... = 0  voor de even a's  
en   (n - 1)(n)an = (2 • (n - 2) + 4)an - 2     ofwel    an =  2/(n - 1)  • an - 2   voor de oneven a's
 
Dat geeft de oplossing:    y =  x + x3 + 1/2 • x5 +  1/6 • x7 +  1/24 • x9 +  ...

Kenners onder ons zien daar rechts natuurlijk de faculteiten verschijnen: 

Nσg grotere experts zien misschien zelfs dat hier staat  y = xex²   en je snapt wel dat dat natuurlijk de exacte oplossing is....
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)