© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Singuliere punten.
       
Als je nog eens goed naar alle oplossingskrommen in de vorige les kijkt dan valt je misschien iets op.
Hier zijn er een paar:
 
 
Dat zijn niet zomaar willekeurige grafieken die daar getekend zijn. Mij valt direct iets op:
       

Oplossingskrommen snijden elkaar niet!
       
Zouden ze een hekel aan elkaar hebben? 
Of smetvrees?

Niets van dat alles; eigenlijk is het volkomen logisch dat ze elkaar niet snijden. Dat kun je het handigst inzien met een  "bewijs uit het ongerijmde", en dat gaat ongeveer zó:
       
  Bewijs.
Stel dat er twee oplossingskrommen zijn die elkaar in een punt P snijden......
Omdat ze daar dezelfde x en y hebben, moeten ze daar ook dezelfde helling hebben, immers die x en y zijn de enige variabelen in de differentiaalvergelijking waar ze beiden aan voldoen.
Maar als ze dezelfde helling hebben in P, dan gaan ze ook door hetzelfde  "Punt-Vlak-Ernaast" (ze gaan immers precies "dezelfde kant op"?
Maar in de Punt-Vlak-Ernaast hebben ze uiteraard wéér dezelfde helling!!
Dus gaan ze beiden door hetzelfde  "Punt-Vlak-Dáár-Weer-Naast"
En zo gaat dat alsmaar door......
Kortom:  de krommen zijn precies gelijk!  Het is er maar één!!
q.e.d.
     
Maar nou even serieus:  "Kan dat écht niet?

nou.......
     
Neem de differentiaalvergelijking   y' • (y - 1) = x - 2
Hiernaast zie je een lijnelementenveld en een aantal oplossingskrommen.

Maar wat gebeurt er daar in dat wolkje bij (2,1) ???????
De oplossingskrommen  y = 3 - x  en  y = x - 1 lijken daar beiden naar toe te lopen.

Even controleren of ze beiden aan de differentiaalvergelijking voldoen:
y = 3 - x geeft  y' = -1  en  dus  -1 • (3 - x - 1) = x - 2 en dat klopt
y = x - 1  geeft  y'  = 1  en dus 1 • (x - 1 - 1) = x - 2  klopt ook!

HUH?
Hoe kan de helling in (2,1) nou 1 EN -1 zijn?
Klopt het "bewijs" hierboven dan niet?

       
Nee, dat bewijs klopt inderdaad niet helemaal, en dat kun je zien door gewoon een formule voor y' te gaan maken:

En als je nu het punt (2, 1) invult dan geeft dat  y' = 0/0 .
En 0/0 is helaas in de wiskunde een onbepaald getal. Daar kan van alles uitkomen!!
Dat kun je zó inzien:
  • 6/3 = 2  want  2 • 3 = 6
  • 0/4 = 0  want  0 • 4 = 0
  • 8/0 = ?  want  ? • 0 = 8  en dat vraagteken bestaat niet 
  • 0/0 = ?  want  ? • 0 = 0  en dat vraagteken kan alles zijn!
       
Als de helling niet bestaat, dan valt de redenering van het bewijs hierboven helemaal in het water.
Zo'n punt in een lijnelementenveld waar de helling  0/0 geeft en dus onbepaald is heet een singulier punt.
       

singulier punt:   helling is  0/0
       
In ons singuliere punt (2, 1) is de helling van de ene oplossingskromme 1 en die van de andere -1.  En dat kan allemaal zomaar, immers de helling in (2,1) kan alles zijn.
We moeten de stelling helemaal bovenaan dus ietsje nuanceren:
       

Oplossingskrommen kunnen elkaar alleen in singuliere punten snijden.
       
Gevolg voor opgavenmakers:
Het is nogal onhandig om bij een opgave een oplossingskromme te vragen met als gegeven punt daarvan een singulier punt! Hierboven zou de vraag  "Geef de oplossingskromme die door (2, 1) gaat"  een nogal stomme vraag zijn!
       
       
  OPGAVEN
       
1. Geef de singuliere punten van de volgende differentiaalvergelijkingen.
       
  a. 2dx = ydy + √xdx
     

(4, 0)
  b. xdy + 4dy + xydx = 8dx  
     

(-4, -2)
  c. 2xy' + ex = 1 + y • y'
     

(0, 0)
  d. y2dx = 4dx + xdy  
     

(0, 2)  (0, -2)
   
2. De differentiaalvergelijking  ydx - xdy = 0  heeft een singulier punt waar oneindig veel oplossingskrommen elkaar snijden.
Toon dat aan.
       
3. De differentiaalvergelijking  xdy + bdx + ady = ydx   heeft als oplossingskrommen o.a. de rechte lijnen  y = 2x + 5  en  y = -x - 1
Bereken a  en  b.
     

2 en 1
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)