© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Regel van Simpson
       
De Regel van Simpson luidt als volgt:
       
Voor polynomen van graad 3 of lager geldt:
 

       
Daarbij is m het midden van interval [a, b]

Handig toch?
Zo weet je in één keer, zonder zelfs maar te primitiveren, dat geldt:

       
Het Bewijs dan maar?
       
0. Het geldt voor de nuldegraads functie  y = c
 

(f(a) + 4f(m) + f(b))/6  is gelijk aan   (c + 4c + c)/6  = c  dus dat klopt inderdaad
 
1.  Het geldt voor de eerstegraads functie y = x
       

       
Maar ja, dan geldt het ook voor elke functie y = px  want dan wordt gewoon alles met p vermenigvuldigd. Zo'n constante factor kun je net zo goed direct buiten de integraal zetten.
       
2. Het geldt voor de tweedegraads functie  y = x2
       

(controleer dat laatste zelf door de staartdeling (b³ - a³)/(b - a) te maken of door de haakjes weer weg te werken)

En omdat  (a + b)2 = 4 • ((a + b)/2) 2 ) = 4m2  , staat daar midden in die laatste factor weer precies  4f(m)..........
       
Om dezelfde reden als hierboven geldt het dan ook voor elke  y = qx2
Verder geldt het ook voor elke combinatie van tweede en eerstegraads functies (splits de integraal in twee losse integralen en neem de resultaten op het eind weer samen).
       
3.  Het geldt voor de derdegraadsfunctie  y = x3.
       

1/12 • (b - a) • (2b3b3 + 3ab2 + 3a2b + a3 + 2a3
=  1/12 • (b - a) • (2b3 + (a + b)3 + 2a3)
omdat  m3 = ((a + b)/2)3  = 1/8 • (a + b)3    staat daar dus   1/12 • (b - a) • (2f(b) + 8f(m) + 2f(a))
en dart is inderdaad weer gelijk aan   1/6 • (b - a) • (f(b) + 4f(m) + f(a))
       
Om dezelfde reden als hierboven geldt het dan ook voor elke combinatie van derde en  tweede en eerstegraads functies (splits de integraal in losse integralen en neem de resultaten op het eind weer samen).
       
Grappig Gevolg.
       
Als je twee grafieken van derdegraads functies (of lager) hebt, en die snijden elkaar in drie punten die even ver (horizontaal) van elkaar af liggen, dan zijn de oppervlakten tussen de grafieken dus gelijk!
       

       
immers, omdat  f(a) en f(m) en f(b) gelijk zijn, zijn de oppervlakten onder de grafieken ook gelijk, dus wat de ene grafiek minder heeft aan de ene kant van m moet hij wel; meer hebben aan de andere kant van m. Kortom:  hierboven is  blauw = groen.
       
Het kan ook met inhouden!
       
Integralen hebben nou eenmaal veel te maken met inhouden. Zo weet je vast nog wel dat die 1/3 • G • h voor de inhoud van een kegel eigenlijk afkomstig is van de primitieve van x2  (want je moet om een kegel te krijgen een lineaire functie omwentelen). Het zal je dus vast niet vreemd in de oren klinken als de regel van Simpson ook een variant voor inhouden heeft. Die luidt als volgt:
       
Voor de inhoud van de afgeknotte piramide in de figuur hiernaast geldt
(met A2 midden tussen A1 en A3 en vierkant grondvlak):
 
I = h/6 • (A1 + 4A2 + A3)
       
Ook maar weer het bewijs?
       
Stel dat het grondvlak zijden a heeft en het bovenvlak zijden b. Dan heeft A2 zijden  (a + b)/2
Dan zou volgende deze regel dus moeten gelden
I = h/6 • (a2 + 4 • 1/4(a + b)2  + b2)
I = h/6 • (2a2 + 2ab + 2b2)
I = 1/3h • (a2 + ab + b2)

zou dat kloppen?  spannend!!
Noem de hoogte van de oorspronkelijke piramide H.
Dan geldt (gelijkvormigheid)   H = ah/(a - b) 
De inhoud van de hele piramide is  1/3 • H • a2
De inhoud van het afgesneden gedeelte is  1/2 • (H - h) • b2
De inhoud van de afgeknotte piramide is dan:

 
Die laatste deling kunnen we met een staartdeling uitwerken, en dat geeft dan als resultaat:     I =  1/3h • (a2 + ab + b2)
Inderdaad het zelfde dus!!!
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)