waarheidstabellen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Waar of Niet-Waar?

Voor een logische bewering zijn er maar twee mogelijkheden:

Hij is Waar
of
Hij is Niet-Waar

Dat betekent dat onze verbindingsstukjes (connectieven) in formules (dat zijn die dingen ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔) waarheidsfunctioneel zijn. Dat wil zeggen die verbindingsstukjes bepalen de invloed van de hele bewering als de waarheid van de afzonderlijke twee onderdelen bekend is.
Laten we voor Waar het getal 1 gebruiken en voor Niet-Waar het getal 0.
Als we de waarheid van formules α en β weten (0 of 1), en die noemen we W(α) en W(β), dan kun je de waarheid van samengestelde beweringen op de volgende vijf manieren vinden:

•

W(¬α) = 1 - W(α)

•

W(α ∧ β) = W(α) • W(b)

•

W(α ∨β) = max{W(α), W(β)}

•

W(α ⇒ β) = max{1 - W(α), W(β)}

•

W(α ⇔ β) = max{W(α), 1 - W(β)} • max{W(β), 1 - W(α)}

max{..., ...} betekent: het maximum van beiden.
We zullen zo even langslopen wat dat allemaal voorstelt. Dit is wat overzichtelijker weer te geven (en wordt daarom ook vaak zo genoteerd) in zogenaamde waarheidstabellen:

Ga zelf maar na dat deze tabellen kloppen met die regels erboven.....
Oké, wat betekent dit allemaal?

•

Als α niet waar is, dan is niet-α (de negatie) waar. En andersom. Lijkt me logisch.

•

(α EN β) is alleen maar waar als beiden apart ook waar zijn, in alle andere gevallen is (α EN β) onwaar. Ik heb het ooit voor de zekerheid nog even aan Johan Cruijff gevraagd, en die vond het ook logisch.

•

(α OF β) is waar zodra minstens één van beiden waar is. Dit heet een inclusieve disjunctie (Latijn: "vel").
Er bestaat ook zoiets als een exclusieve disjunctie (Latijn "aut"). Dat is in het Nederlands ook "OF" maar daarbij is (α OF β) waar als OF α waar is, OF β, maar niet als beiden waar zijn. Daar wordt in de logica wel het teken "a" (van aut; dus "α a β") voor gebruikt in plaats van onze "∨" van vel. De ∨werkt handiger....
In onze logica is de bewering: ("1 + 1 = 2" OF "een tomaat is een hangbrug") dus WAAR.

•

α ⇒ β ("α impliceert β", of "ALS α DAN β), de materiële implicatie, is altijd waar, behalve als α waar is en tegelijkertijd β niet-waar.
Dat betekent dus dat in de logica uit een niet-ware bewering alles kan volgen!!
De bewering "als 1 + 1 gelijk is aan 3, dan bestaat god" is logisch gezien dus WAAR!

•

α ⇔ β, de materiële equivalentie, is waar als de waarheid van α en β gelijk zijn (beiden 0 of beiden 1).
In het Nederlands wordt dit ook wel aan gegeven met d.e.s.d.a en dat betekent "dan en slechts dan als".

Als je naar de vier tabellen kijkt waar α én β beiden in voorkomen, dan zie je dat er nog 12 missen. Sommige van die twaalf zijn nogal flauwekul zoals bijvoorbeeld de tabel met alleen maar enen: die geeft iets dat ALTIJD waar is. Maar sommigen stellen ook best iets nuttigs voor zoals de tabel van de exclusieve disjunctie waar het hierboven om ging.
Maar deze missende tabellen kun je allemaal maken door samenstelling van sommige van de vijf hierboven gegeven tabellen.

voorbeeld: de exclusieve disjunctie wordt gegeven door (α ∨ β) ∧ ¬ (α ∧ β)

Maak je eigen waarheidstabel.

Je kunt nu vrij makkelijk zelf van een formule met de propositionele constanten p_i erin zelf een waarheidstabel maken met die voor alle combinaties van enen en nullen voor de p_i de waarheid van de hele formule geeft.

Laten we bijvoorbeeld de formule (((p₁ ⇒ p₂) ∨ (¬ p₁ ⇒ p₃)) ⇒ p₃) eens bekijken.
Er zijn 2³ = 8 mogelijkheden voor het waar of niet-waar zijn van p₁, p₂ en p₃, dus dat geeft de volgende tabel:

In het blauw staan de waarden van de propositionele constanten p_i, in het rood de waarde van de drie constructiestappen. Onderaan in het groen staat genummerd in welke volgorde de kolommen van de tabel zijn ingevuld.
Het gaat om het eindresultaat van de kolom die omlijnd is. Dat is het slotresultaat van de formule, afhankelijk van de beginwaarden van p₁, p₂ en p₃.
(Je ziet trouwens meteen dat deze hele formule precies dezelfde waarheidskolom heeft als p₃).

Tautologieën en Contradicties.

Een formule die in zijn waarheidstabel alleen maar enen krijgt heten tautologieën. Die formules zijn waar onder alle omstandigheden, dus niet afhankelijk van de proposities waaruit ze zijn opgebouwd. Tautologieën noemt men wel de logische wetten van de propositielogica.
Bekende voorbeelden zijn:

α ∨ ¬ α "het is zo of het is niet zo"
¬ (α ∧ ¬ α) "iets kan niet waar zijn en tegelijkertijd niet-waar"

Veel tautologieën hebben de vorm α ⇔ β. Die twee delen α en β heten dan logisch equivalent, en dat is dus zo als α en β dezelfde waarheidstabel hebben.
Voorbeelden van dit soort tautologieën:

¬ ¬ α ⇔ α (de dubbele negatie)

α ∧ β ⇔ β ∧ α (commutativiteit; hetzelfde geldt natuurlijk ook voor ∨ ipv ∧)

(α ∧ (β ∧ γ )) ⇔ (α ∧ β) ∧ γ )) (associativiteit; geldt ook voor ∨ ipv ∧)

Een formule met in zijn waarheidstabel alleen maar nullen heet een contradictie. Dat is een formule die in geen enkele situatie waar is, onafhankelijk van de waarheid van de proposities waaruit hij is opgebouwd. Een erg simpele als (α ∧ ¬ α) schiet mij als eerste te binnen.


OPGAVEN

1.	Geef de ontbrekende twaalf waarheidstabellen hierboven en probeer bij elk van die tabellen een zo eenvoudig mogelijke formule te maken met behulp van de bestaande tekens ¬ , ∧, ∨ , ⇒ , ⇔

2.	Maak een waarheidstabel bij de volgende formules:

	a.

	b.

	c.

3.	Bij een formule met alleen maar ∧ , haakjes en andere formules of proposities, dus bijvoorbeeld iets als: ((α ∧ (β ∧ γ )) ∧ (β ∧ p₁)) doet het er niet toe waar de haakjes staan (zolang het maar een geldige formule blijft); er komt altijd hetzelfde resultaat uit. Dat betekent dus dat je net zo goed kunt schrijven (α ∧ β ∧ γ ∧ β ∧ p₁) Toon dat aan.