© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een bewijs met gonioformules.
       
Het begint allemaal met de eenvoudige formule  sin2x = 2sinxcosx

Als je daarin x door 1/2x vervangt krijg je  sinx = 2sin(1/2x)cos(1/2x)

Maar omdat geldt  cosx = sin(1/2π + x)  kun je die achterste cosinus weer terugveranderen in een sinus:
Dat geeft:    sinx = 2sin(1/2x)sin(1/2π +  1/2x) = 2sin(x/2)sin((π + x)/2)

Toen dacht Euler:  "Wat één keer kan, kan ook vaker:  ik ga daar aan de rechterkant gewoon op de beide sinussen wéér de formule sin2x = 2sinxcosx  toepassen"
...."En dan maak ik van de cosinussen weer sinussen...."
...."En dan pas ik op al die sinussen weer  sin2x = 2sinxcosx toe...."
...."En dan maak ik van de cosinussen weer sinussen...."
...."En dan pas ik op al die sinussen weer sin2x = 2sinxcosx toe...."
....
Er zit hier duidelijk een kras op de plaat, maar dit is het resultaat als je die plaat toch een poosje door laat draaien:
       

......

Ik neem aan dat je de regelmaat al wel ziet, dus schrijf ik maar in één keer een algemene formule op:

Maar veel van deze sinussen zijn aan elkaar gelijk.
Kijk maar:

Immers sin(π + a) = -sina = sin(-a)
Dat maakt het mogelijk om in die vergelijking koppeltjes te maken, namelijk als volgt:
 
Voor zo'n koppeltje hebben we de formule  sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b        (ga dat zelf maar na)
Maar daar in kleur staan een oneven aantal factoren (de coëfficiënt van π loopt van 1 tot en met 2n - 1) dus de middelste blijft over!
Dat geeft voor de sinusvergelijking:

Tussen accolades staan alle koppeltjes, die achterste factor is de middelste overblijvende.
Die achterste factor is gelijk aan:

Dat geeft de volgende vergelijking voor sinx:

Dit noemen we even vergelijking (1)

Breng nu die eerste factor  sin(x/2n) naar de andere kant, dan staat er links

En nu gebeurt er iets interessants als je x naar nul laat gaan. Dan gaat  x/2n  ook naar nul en  staan hier direct boven twee standaardlimieten  (sinx/x voor x naar 0) die beiden naar 1 gaan.  Dus dat geheel gaat naar  2n.
Tegelijkertijd gaan dan alle  sin2(x/2n) stukken uit de sinusvergelijking ook naar nul, en gaat die laatste cosinus naar 1, zodat overblijft:

Het leuke komt NU!!!
We gaan nu de eerdere vergelijking (1) delen door deze laatste vergelijking (je moet er maar opkomen!).
       
       
En nu de laatste stap:  laat n naar oneindig gaan.  Dan gaan  zowel  x/2n als  π/2n  naar nul, en kun je van die gekleurde delen op dezelfde manier als hierboven weer dezelfde standaardlimiet maken:

Als je nou die 2n van links weer naar de andere kant brengt dan gaat die samen met die eerste sinus naar x als n naar oneindig gaat, en verder gaat die cosinus daar achteraan ook weer naar 1. Dat geeft:
       

       
Daarbij loopt n nu naar oneindig, dus hier staat een oneindige rij factoren. Die kun je als volgt prachtig samenvatten:
       

   

Vervang hierin x door πx  en je krijgt:
   

 
 
       
En nu het verband met de gammafunctie nog even.....

We weten al dat de gammafunctie Γ(x) een uitbreiding van de faculteit-functie naar ook niet-gehele en niet-positieve getallen is. Dat staat in deze les.
Gauss kwam met de volgende formule voor Γ(x) op de proppen:
       

       
Dat dat inderdaad klopt kun je zien door eerst Γ(0) uit te rekenen:  Γ(0) = (n! • 1)/(0 • 1 • ... • n) = n!/n! = 1  dus dat klopt
Daarna bekijk je hoe groot Γ(x + 1) is:

Dat is inderdaad de faculteit-functie!

Nou kun je van deze nieuwe definitie een product maken. Dat gaat als volgt  (overigens: ik doe die historisch gezien volstrekt onverantwoordelijk: Euler kwam eerst met het product dat zometeen volgt, en pas later maakte Gauss daar de bovenstaande formule van; excuses historici!)
 
In de formule van Gauss mag je de nx  als n naar oneindig gaat ook wel vervangen door (n + 1)x

Waarom zou je dat doen?
Nou, dan staat daar in de teller (n + 1)x  en daar kun je een product van maken.

Controleer maar dat dat inderdaad zo is:  bijna alle tellers en noemers vallen tegen elkaar weg, en alleen (n + 1) blijft over.
De Gauss-formule voor Γ(x) wordt dan:

Dan kun je daarna de n! van de teller samennemen met de  (x + 1)(x + 2) ... (x + n) van de noemer (alleen de eerste x er niet bij). Dat geeft:

Samen geeft dat voor de Γ-functie:

Daar staan nu, behalve die factor 1/x  nog twee producten over n, dus dat kun je korter schrijven en daarna zelfs samennemen:

Omdat   a • Γ(a) = Γ(a + 1)   (Γ was immers de faculteit:  Γ(x) = (x - 1)! )  is ook   Γ(1 - x) = -x • Γ(-x)   (neem gewoon  a = -x)
Dat geeft met de gevonden productformule voor Γ(x):

Daar rechts staat één groot "superproduct"  dus kun je al die factoren wel samennemen. Dan vallen die machten van x en -x tegen elkaar weg, en hou je over:

       
Als we nou dit op z'n kop zetten dan komen we eindelijk uit op de vergelijking voor sinπx die we al veel eerder hadden:

       
Conclusie:

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)