© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Rationale en Irrationale getallen.
       
Deze les gaan we het hebben over hoe goed je reële getallen eigenlijk kunt benaderen met breuken.
Notatie:  bedenk dat  {q}  het gedeelte van q achter de komma is.

Stelling:
Als  α  irrationaal is, dan bestaat er voor elk reëel  getal r uit  [0, 1] en elk reëel getal ε > 0   een getal q ∈ ℕ  zodat  | {qα} - r | < ε
       
Anders gezegd:  het gedeelte van qα achter de komma kan willekeurig dicht bij elk reëel getal uit [0, 1] komen te liggen.

Bewijs:
  Kies n zo groot dat  1/n < ε.
Verdeel het interval [0, 1] nu in n intervallen, elk van 1/n.
Bekijk vervolgens de getallen  0, {α}, {2α}, {3α}, {4α}, ....{nα}.
Omdat dat n + 1 getallen zijn, en omdat er n intervallen zijn, moeten er minstens twee van die serie in hetzelfde interval liggen (hé leuk:  het duiventilprincipe).
Dat betekent dat  |{aα} - {bα}| < 1/n  kies a en b nu zó dat  a degene is met het grootste deel achter de komma, dus dan komt er een positief getal uit, en kunnen de absolute waarde strepen weg.
Dus  {(a - b)α} = {qα} < 1/n 

Dus als je de rij  {qα}, (2qα} , ..... opschrijft, dan neemt die stapjes op de getallenlijn die kleiner zijn dan 1/n
Dus zal er zeker eentje dichter dan 1/n  bij r in de buurt komen.
q.e.d.    
       
Voorbeeld.
Neem het getal π = 3,14159265358979323....
Stel dat we dichter dan ε = 0,1 bij r = 0,3 willen  komen.
Maak 10 intervallen: 0 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,8 - 0,9 - 1,0
Bereken nu de rij  0, π, 2π, ..., 10π
Dat geeft voor de gedeeltes achter de komma:
0
{π} = 0,1415...
{2π} = 0,2831...
{3π} = 0,4247...
{4π} = 0,5663...
{5π} = 0,7079...
{6π} = 0,8495...
{7π} = 0,9911...
{8π} = 0,1327...
{9π} = 0,2743...
{10π} = 0,4159...
Er zijn er twee uit hetzelfde interval, bijvoorbeeld  {2π} = 0,2831... en {9π} = 0,2743... Dus a = 2 en b = 9,  dus q = -7
Het gedeelte achter de komma van -7π ligt dicht genoeg bij 0.1 (namelijk -7π ligt  0,0088... rechts van -22)
Dus door een aantal keer -7π te nemen kun je achter de komma dicht genoeg bij 0,35 komen.
Bijvoorbeeld -7π • 73 = -1605,3538...
       
Gevolg van deze stelling:

Als α  irrationaal is en r  is reëel en ε > 0
Dan bestaan er een q ∈ ℕ en p ∈ ℤ  zodat   | qα - p -  r | < ε 

       
Vervang gewoon  {qα}  door qα - ⌊qα⌋  en noem dat laatste gehele deel p.
Neem nu r = 0 , dan zie je dus dat  | qα - p | < ε  dus |α - p/q | < ε/q < ε   
Ofwel:

Elk irrationaal getal kan willekeurig goed benaderd worden
door een rationaal getal.
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)