© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Orthogonale Krommenbundels.
       
We noemen twee krommenbundels orthogonaal als elke kromme uit de ene bundel elke uit de andere bundel loodrecht snijdt.
Hiernaast zie je een rode bundel en een blauwe bundel waarvan alle grafieken elkaar loodrecht snijden. Die twee bundels zijn dus orthogonaal.

ou is dit niet zomaar een speeltje van wiskundigen. We komen dit bijvoorbeeld tegen als we de elektrische of magnetische veldlijnen hebben  en dan benieuwd zijn naar hoe de krachtlijnen in zo'n veld lopen. Die staan loodrecht op de veldlijnen en dat geeft plaatjes zoals hiernaast.

Hoe vinden we zo'n  orthogonale bundel?

Nou dat is makkelijker dan je denkt.

Stel een differentiaalvergelijking van de bundel op.  Zorg ervoor dat de constante daarbij wegvalt!  Dus maak er eerst van  c = .... en ga dan differentiëren!)
 
Vervang vervolgens elke y' door  -1/y' (dat zorgt voor loodrechte stand)
Los de nieuwe differentiaalvergelijking op en je hebt de orthogonale bundel van de oorspronkelijke bundel!
       
Voorbeeld 1.
Neem de cirkels  x2 + y2 = r2 

•

 De differentiaalvergelijking daarvan is  2x + 2y • y'  = 0
• Loodrecht erop:   2x - 2y • 1/y' = 0  ofwel   2xdy - 2ydx  = 0
• Scheiden:   2xdy = 2ydx   dus  1/ydy = 1/xdx
lny = lnx + c  geeft als oplossingen  y = cx
Phew!  Gelukkig maar:  we wisten immers al dat rechte lijnen door de oorsprong loodrecht staan op cirkels met als middelpunt de oorsprong!!
       
Voorbeeld 2.
En ellipsen?  Waar staan die loodrecht op?

Ellipsen met middelpunt de oorsprong hebben vergelijking  ax2 + by2  = p
Daarbij hoort de differentiaalvergelijking   2ax + 2by • y' = 0  (we nemen de p als "parameter"; de a en b zijn constanten)
Loodrecht erop:     2ax - 2by • 1/y' = 0   ofwel   2axdy - 2bydx = 0
Scheiden:  a/y • dy = b/x • dx
alny = blnx + c
ealny = c • eblnx
ya = c • xb    kortom:  het zijn machtsfuncties waarbij de macht afhangt van  b/a
Als je neem  b/a = 1/2  krijg je parabolen  y2 = cx  en dat is de krommenbundel van het begin!
       
       
  OPGAVEN
       
1. Bepaal de orthogonale krommenbundel van:
       
  a. xy = c    (een serie hyperbolen)
       
  b. y = ce-2x
       
  c. y2 = 2px   (een serie parabolen)
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)