oneindig afdalen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Oneindig Afdalen. (engels: "infinite descent")

Fermat was één van de eersten die deze methode veelvuldig gebruikte. De redenering waarop deze bewijsmethode is gebaseerd gaat ongeveer als volgt:

Stel dat we willen bewijzen dat een bepaalde eigenschap niet bestaat. Neem eerst aan dat er een positief geheel getal n is waarvoor de eigenschap wel bestaat. Geef dan een recept hoe je uit dit getal n nieuw getal n₂ kunt maken dat kleiner is dan n waarvoor de eigenschap dan ook moet gelden. Als dat lukt kun je volgens hetzelfde recept uit deze n₂ een nieuw getal n₃ construeren dat weer kleiner is dan n₂. En zo als maar door. We krijgen een oneindige rij (n, n₂, n₃,...) afdalende gehele positieve getallen.

En dat kan niet! Dus is de oorspronkelijke aanname dat er een getal n bestond onjuist geweest.

Voorbeeld:

√2 is niet te schrijven als breuk

Dat hebben we ook al bewezen met een bewijs uit het ongerijmde, hier volgt er eentje met oneindig afdalen.
Bewijs.

Daaruit volgt:

We hebben twee nieuwe getallen a₂en b₂ gevonden die als breuk ook √2 opleveren.
Maar omdat ^a1/_b1 = √2 is a₁ = b₁√2 dus b₂ = a₁ - b₁ = b₁(√2 - 1) en dat is kleiner dan b₁ want √2 - 1 is kleiner dan 1. Op dezelfde manier geldt dat a₂ kleiner is dan a₁.
We hebben dus twee rijen positieve gehele getallen gevonden die steeds kleiner worden. Dat kan niet dus √2 kan niet geschreven worden als breuk.
q.e.d.

Je kunt ook "visueel" oneindig afdalen!

Stel dat de zijde van een vierkant en de diagonaal ervan beiden als breuk te schrijven zijn. Vermenigvuldig de afmetingen met de beide noemers van die breuken. Dan krijg je een vierkant waarvan de zijden en de diagonaal beiden gehele getallen zijn.

Als je dan de helft van dat vierkant neemt heb je dus een gelijkzijdige rechthoekig driehoek met gehele getallen als zijden. Laten we zie zijden b en a noemen.

Vouw de rechte hoek van de driehoek naar de andere kant, met een bissectrice als vouwlijn (zie figuur). Dan krijg je een kleinere driehoek die weer gelijkzijdig en rechthoekig is, en ook als zijden gehele getallen heeft (b - a, b - a en 2a - b).

Daarop kun je hetzelfde weer toepassen.....

Zo krijg je steeds kleinere gelijkzijdige driehoeken met steeds gehele getallen als zijden.
Dat geeft uiteindelijk een driehoek met gehele zijden, maar zijden kleiner dan 1 (dat moet wel: bedenk dat alle zijden de hele tijd gehele getallen zijn).

Huh?

Precies: Huh?
Dat kan niet!
Dus de zijden en de diagonaal van een vierkant zijn niet beiden als breuk te schrijven.
q.e.d.


OPGAVEN

1.	Geef het bewijs dat alle wortels die niet als geheel getal te schrijven zijn, ook niet als breuk te schrijven zijn. Volg daarbij de volgende stappen:

	a.	Stel √k is geen geheel getal maar wel een breuk, bijv. √k = ^m/_n Noem het grootste gehele getal dat kleiner dan √k is q.

		Vereenvoudig hiervan de teller en de noemer afzonderlijk van elkaar, en zorg dat er in je antwoord in de teller en noemer geen wortels of breuken meer staan.

	b.	Laat zien dat vraag a) een nieuwe breuk met gehele teller en noemer oplevert met kleinere teller en kleinere noemer dan ^m/_n en leg uit waarom de stelling daarmee is bewezen.

2.	We bekijken deze opgave gehele oplossingen van het stelsel vergelijkingen a² + 6b² = p² en b² + 6a² = p²

	a.	Toon aan dat 7 een deler is van p² + q²

	De kwadratische residuen modulo 7 (dat is hoe ver een kwadraat boven het eerstlagere zevenvoud ligt) zijn gelijk aan 0, 1, 2 of 4.

	b.	Controleer dat voor een aantal kwadraten.

	c.	Leg uit dat daaruit volgt dat 7 dan een deler van p en van q apart is.

	d.	Neem p₁ = ^p/₇ en q₁ = ^q/₇Laat zien dat je daarmee oplossingen hebt gevonden die kleiner zijn dan de oorspronkelijke.