© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De momentenstelling.
       
Voor twee massa's M1 en M2  ontdekten we in de vorige les dat het zwaartepunt van die twee op hun verbindingslijn ligt, en bovendien dat voor de afstanden r1 en r2 tot dat zwaartepunt geldt:
       
  M1r1  =  M2r2
       
Laten we eens een geval van twee puntmassa's op de x-as bekijken.
       

       
Een massa van 3 bij x = 2 en een massa van 6 bij x = 9
Bekijk het totale moment van die twee massa's ten opzichte van de oorsprong:
M = M1r1  +  M2r2  = 3 • 2 + 6 • 9
Als we alle massa samennemen in het zwaartepunt, dan is het totale moment  M = (3  + 6) • z  waarbij z de plaats (x- coördinaat) van het zwaartepunt is. Dus moet gelden:
3 • 2 +  6 • 9 = (3 +  6) • z    geeft  60 = 9z  dus  z =  60/9   = 62/3
       

       
Laten we niet teveel focussen op die getallen.
Als de massa's  m1 en m2 zijn, en de plaatsen  x1 en x2,
dan geldt volgens deze redenering:      m1 • x1 + m2 • x2 = z • (m1 + m2)

En voor een groter aantal massa's geldt precies dezelfde redenering:  De som van de afzonderlijke momenten is gelijk aan het moment van  de totale massa in het zwaartepunt.
       

m1 • x1 + m2 • x2 + m3 • x3 + ....  =  z • (m1 + m2 + m3 + ...) = z • M
       
Daarbij is M de totale massa.

En nu tweedimensionaal.

Daarvoor is het eerst van belang te beseffen dat de afstand r  loodrecht op de kracht F wordt gemeten:
       

       
Als er nou meerdere  massa's verdeeld zijn over het xy-vlak, en je wilt van die massa's het zwaartepunt vinden, dan laat je gewoon eerst een kracht in de y-richting werken. Voor al de r-waarden van de momenten moet je dan de x-coördinaten van de massa's nemen, en je vindt op die manier via de regel hierboven de x-coördinaat van het zwaartepunt.
       

       
Daarna laat je een kracht in de x-richting werken, en dan moet je voor alle r-waarden in de momenten de y-coördinaten van de massa's nemen, en je vindt op die manier de y-coördinaat van het zwaartepunt:
       

       
samengevat:
m1 • x1 + m2 • x2 + m3 • x3 + ....  =  xz • (m1 + m2 + m3 + ...) = xz • M
m1 • y1 + m2 • y2 + m3 • y3 + ....   =  yz • (m1 + m2 + m3 + ...) = yz • M

Maar wacht!
Dat kunnen we natuurlijk in  één keer noteren door de bovenste regel als de x-kentallen van een vector te zien en de onderste regel als de y-kentallen. Dat geeft de zogenaamde momenten stelling:
       

       
Daarin zijn die v's de plaatsvectoren van de massa's, en is z de plaatsvector van het zwaartepunt.
       
       
   OPGAVEN
       
1. Een massa van 12 bevindt zich in de oorsprong, een massa van 20 bevindt zich in punt (4, 2) en een massa van 8 bevindt zich in punt  (1, 8).
Bereken de coördinaten van het zwaartepunt.
     

(2.2, 2.6)
2. Een massa van 10 bevindt zich in  (2, 8)  en een massa van 25 bevindt zich in  (6, 3)
       
  Een derde massa bevindt zich op de y-as.
Hoe groot is die derde massa en waar op de y-as  bevindt die zich als het zwaartepunt van de drie massa's het punt  (41/4, 6) is?
       
3. Bereken van de volgende figuur de coördinaten van het zwaartepunt in drie decimalen nauwkeurig (als de dichtheid overal even groot is).
       
 

     

(3.391, 2.934)
       
4. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-I
       
  Gegeven zijn voor a > 0 de punten A(0, a), B(1, 0), C(0, 1) en D( 1, 0).
Vierhoek ABCD is een vlieger. In de figuur hiernaast is de vlieger getekend voor a = 2.

In de hoekpunten van de vlieger bevinden zich puntmassa’s:

  - in punt A met gewicht 2;
  - in zowel B als D met gewicht 1;
  - in punt C met gewicht a.
       
  In de linker figuur hieronder  zijn de vlieger, de puntmassa’s en het zwaartepunt Z van de puntmassa’s getekend voor het geval a =1.
In de rechterfiguur hieronder  zijn de vlieger, de puntmassa’s en het zwaartepunt Z getekend voor het geval a = 2.

Wanneer a groter wordt, verschuift het punt A(0, a) over de y-as omhoog en neemt het gewicht in C toe. Ook het zwaartepunt Z van de vier puntmassa’s verandert dan van plaats. Wanneer a onbegrensd toeneemt, nadert het zwaartepunt Z tot een vast punt P.
       
 

       
  Bewijs dat de y-coördinaat van dat punt P gelijk is aan 1.
       
5. Er liggen twee kartonnen rechthoeken  naast elkaar om samen een L-vorm te maken. Zie de figuur.
       
 

       
  a. Teken in de figuur hierboven de plaats van het zwaartepunt als het materiaal overal even zwaar is
       
  We kiezen vervolgens de afmetingen als in onderstaande figuur. Verder kiezen we de oorsprong linksonder. Zie onderstaande figuur
       
 

       
  b. Bereken de plaats van het zwaartepunt als het blauwe karton drie keer zo zwaar is als het gele karton.
       
6.

Op een cirkelvormig dienblad met straal  30 cm staan twee glazen wijn en een glas bier.
Rechts zie je het bovenaanzicht van de twee glazen wijn.

       
 

       
 

Als  het middelpunt van het blad als oorsprong genomen wordt, staan de wijnglazen met het middelpunt van hun voet  in de punten  (15,0)  en (-10, 8).
Een wijnglas weegt inclusief inhoud  200 gram en een bierglas 300 gram

Waar moet het middelpunt van het bierglas komen te staan als het zwaartepunt van het geheel precies in de oorsprong moet liggen?
     

 (-10/3, -16/3)
       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)