h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
1. De bissectrices van een driehoek ABC snijden de omgeschreven cirkel in P, Q en R.

Toon aan dat PQ loodrecht op CR staat.

     
2. Vanuit punt P zijn twee raaklijnen aan een cirkel getekend, die de cirkel raken in A en B.

Vanuit een willekeurig punt C worden de lijnen CA en CB getrokken.

Bereken hoek ACB als gegeven is dat hoek BPA gelijk is aan 50.

     

65

       
3. Van driehoek ABC liggen de hoekpunten op een cirkel waarvan de straal gelijk is aan AB.

BQ is een hoogtelijn van deze driehoek.

MP staat loodrecht op BC.

Bewijs dat AQ = MP.

       
4. In de figuur hiernaast is een scherphoekige driehoek ABC getekend met AC > AB, en ook de cirkel met middelpunt A en straal AB.
De cirkel snijdt BC in D en AC in E.
 

Toon aan dat ∠CDE = 1/2 ∠BAC

       
5. Twee cirkels snijden elkaar in P en Q.
X en Y zijn twee willekeurige punten op de ene cirkel.
XP, XQ, YP en YQ snijden de andere cirkel
in D, B, C en A.

Bewijs dat boog AC = boog BD.

       
6. CP is bissectrice van hoek C in driehoek ABC (Dus ∠ACP = ∠BCP

CR is een hoogtelijn van die driehoek.
M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek.

Toon aan dat  ∠RCP = ∠PCM

 

       
7. AB en CD zijn koorden van een cirkel, die elkaar snijden in punt S.
Toon aan dat geldt  AS SB = CS SD

     
 
hint:  toon aan dat ASD en BSC gelijkvormig zijn
       
8. Van driehoek ABC liggen de hoekpunten op een cirkel met middelpunt M. Het verlengde van BM snijdt de cirkel in punt P.
Het blijkt dat AC voor deze keuze van ABC toevallig de bissectrice van ∠PCM is.

Toon aan dat daaruit volgt dat AB = AC.

       
9. Hiernaast zie je een driehoek ABC met zijn ingeschreven en omgeschreven cirkel.
M is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

P is het midden van koorde AB

a.   Toon aan dat M op PC ligt

b.   Toon aan dat PB = PM

       
10. Twee cirkels snijden elkaar in de punten P en Q.
AB is een willekeurige koorde op de eerste cirkel.
AQ snijdt de tweede cirkel ook nog in punt C
BP snijdt de tweede cirkel ook nog in punt D.

Toon aan dat AB en CD evenwijdig zijn.

       
11. Op lijnstuk AB wordt een willekeurig punt P getekend. De driehoeken AQP en PRB zijn gelijkzijdig.
S is het snijpunt van  BQ en AR.

Toon aan dat alle punten S op een cirkel liggen.

 
   
hint: Toon aan dat APR en PQB congruent zijn
   
12. Bereken de hoek met het vraagteken.
M is het middelpunt van de cirkel.

     

84

       
13. De eindpunten van lijnstuk ST bewegen langs een halve cirkelboog met diameter AB.
M is het midden van ST, en P ligt op AB zodat SP loodrecht op AB staat.

Bewijs dat hoek SPM constant is.

     
 
hint: Verleng SP .
       
14. Gegeven is een cirkel met koorde AB. Het punt P ligt op de cirkel.
Punt X ligt op het verlengde van BP zodanig dat  AP = XP
Als P de dikke boog AB doorloopt, beschrijft X een baan in het vlak.

Bewijs dat de baan van X een deel van een cirkel is.  

 

       
15. Gegeven zijn twee snijdende cirkels.
Kies een snijpunt A en teken een rechte lijn door A die de cirkels verder in B en C snijdt We gaan in deze opgave op jacht naar het langst mogelijk lijnstuk BC.

     
  a. Noem het andere snijpunt van de twee cirkels punt D.
Bewijs dat alle driehoeken BCD gelijkvormig zijn.
       
  b. Als alle driehoeken BCD gelijkvormig zijn bestaat er tussen BC en BD een vaste verhouding. Construeer met dit in gedachten het langste lijnstuk BC.
       
16. Op een cirkel liggen de punten A. B, C en D
P, Q en R zijn de middens van  AD, DC en BC

Toon aan dat  ∠DPQ = ∠CRQ

       
17. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003

Gegeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B.
Lijn l gaat door het punt A en snijdt de cirkels in de punten C en D. Zie de figuur hiernaast.

Door de lijn l om A te draaien verandert driehoek BCD.

     
  a. Toon aan dat de grootte van ∠CBD onafhankelijk is van de stand van l.
       
  In de figuur hiernaast zijn opnieuw twee cirkels getekend die elkaar snijden in de punten A en B. De middelpunten van de cirkels zijn M en N. Lijn l door het punt A snijdt de cirkels weer inde punten C en D.

     
  b. Bewijs dat ∠AMN = ∠ACB
     
  c. Bewijs dat ∠MAN = ∠CBD
       
18. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007
     

  De punten A en B liggen op een cirkel.
In het punt S op de cirkel plaatsen we een vlak spiegeltje zo dat de lichtstraal vanuit A wordt weerspiegeld naar B. De hoek α die AS met de spiegel maakt is dus gelijk aan de hoek β die SB met de spiegel maakt. Zie de bovenste figuur hiernaast.

 

Als we de lijn van de spiegel in S verlengen snijdt deze de cirkel in punt C. Zie de middelste figuur hiernaast.
Er geldt:  ∠BAC = ∠ABC

 

     
  a. Toon dit aan.
     
  De omgekeerde bewering  is ook waar:
als in driehoek ABC geldt ∠BAC = ∠ABC, dan geldt voor elk punt S op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC  α = β, waarbij α en β de hoeken zijn die respectievelijk AS en BS met lijn CS maken.

In de onderste figuur hiernaast zijn twee andere punten A en B op de cirkel getekend en verder nog twee punten P en Q op de cirkel.
In P en Q willen we een spiegeltje zo plaatsen dat in elk van beide spiegeltjes lichtstralen van A weerkaatst worden naar B.

     
  b. Hoe kun je de omgekeerde bewering gebruiken om de juiste stand van de spiegeltjes bij P en Q te tekenen? Licht je antwoord toe met een tekening.
       
19. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

In de figuur hiernaast zijn van de twee gelijkzijdige driehoeken ABC en BDE ook de omgeschreven cirkels getekend. Deze omgeschreven cirkels hebben de punten B en S gemeenschappelijk. Ook zijn de lijnstukken AS en SE getekend.

Bewijs dat hoek ASE een gestrekte hoek is.

       
20. Van driehoek ABC snijden de bissectrices van hoek A en van hoek B de omgeschreven cirkel in de punten Q en P.

QP snijdt  AC in R en BC in S

Toon aan dat driehoek CRS gelijkbenig is.
 
       
21. PQ en RS zijn twee bogen van een cirkel.
De lijnen PQ en RS snijden elkaar in T
M is het midden van boog PQ, N is het midden van boog RS

MN snijdt TQ in punt A en TS in punt B

Toon aan dat TA = TB

     
22. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.  
       
  Gegeven is driehoek ABC met BAC =120 . De cirkel c is de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. De bissectrice van hoek A snijdt de cirkel c in punt D. Zie de figuur.

Er geldt: driehoek BCD is gelijkzijdig.

     
  a. Bewijs dit.
     
  In de situatie van de figuur hierboven geldt: AD = AB + AC.  Om dit te bewijzen verlengen we BA en leggen we E op dit verlengde zo dat EA = AC . Er ontstaat een gelijkzijdige driehoek ACE. In de figuur hieronder is deze driehoek getekend.
 
  Het bewijs gaat verder met de volgende stappen:
-  Maak gebruik van de in vraag a) bewezen gelijkzijdigheid van driehoek BCD.
Toon aan dat de driehoeken CEB en CAD congruent zijn.

     
  b. Bewijs dat AD = AB + AC, gebruikmakend van bovenstaande stappen.
       
23. ABC is een gelijkbenige driehoek met tophoek C.
P is een willekeurig punt op AB.

Toon aan dat de cirkels door A, C, P en door B, C, P even groot zijn.

       
24. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.

Gegeven is een vierhoek ABCD waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, met diagonalen AC en BD.
Op diagonaal BD ligt het punt E zo dat EA =
ED. Op diagonaal AC ligt het punt F zo dat FC = FB .
Zie de figuur.

De punten A, B, F en E liggen op een cirkel.

     
  a. Bewijs dit.
       
  In de figuur hiernaast  zijn ook het lijnstuk EF en de cirkel door A, B, F en E getekend.

     
  b. Bewijs dat EF evenwijdig is aan DC.
       
25. AB is een middellijn van een cirkel met middelpunt M.
CD is een willekeurige koorde op deze cirkel, die evenwijdig is aan AB.
BC en AD snijden elkaar in S.

Toon aan dat de punten C, S, M en A op een cirkel liggen.

       
26. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015.

Gegeven is cirkel c met middelpunt M. Op deze cirkel liggen de punten A en B zo, dat door A, B en M een cirkel d met middelpunt N gaat, waarbij N buiten c ligt.
Punt S ligt op cirkel d op de boog buiten cirkel c. Zie de figuur.

Er geldt:  ∠ASM = ∠BSM

     
  a. Bewijs dit.
       
  De hierboven beschreven situatie geldt ook in de figuur hiernaast. Punt S is nu zo gekozen dat lijnstuk AS door N gaat. Het snijpunt van AS en cirkel c is het punt C.

     
  b. Bewijs dat ∠AMC = ∠ASB
       
27. Twee cirkels snijden elkaar in de punten P en Q.
S is een willekeurig punt van de eerste cirkel.
De verlengden van SQ en SP snijden de tweede cirkel in A en B

Toon aan dat AB constante lengte heeft, onafhankelijk van de plaats van S
       
28. M is het middelpunt van een cirkel met straal 8.

Bereken AC in de figuur hiernaast.

       
29. Twee even grote cirkels snijden elkaar in S1 en S2.
P is een willekeurig punt van een van de cirkels.
De lijn PS1 snijdt de andere cirkel in Q
QS2 snijdt de eerste cirkel in R.
Zie de figuur.

Er geldt:   boogPR = 2 boog S1S2

Toon dat aan.

       
30. De bissectrices vanuit de hoeken A en C van een driehoek worden verlengd tot zij de omgeschreven cirkel snijden in D en E
S is het snijpunt van deze bissectrices.

Zie de figuur.

Toon aan dat de driehoeken CDS en AES gelijkbenig zijn.

       
31. A, B, P en Q zijn punten op een cirkel.

De lijnen PA en QB snijden elkaar in punt P buiten de cirkel, waarbij het middelpunt M tussen de lijnen in ligt.

Toon aan dat  2 ∠QSP = ∠QMP - ∠AMB

     
  TIP:    verleng AM en BM
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)