© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel.
   
De macht van een punt P ten opzichte van een cirkel c met straal r en middelpunt M is gedefinieerd als  PM2 - r2

In de figuur hiernaast zie je heel eenvoudig dat die macht gelijk is aan het kwadraat van de lengte van lijnstuk PR dat de cirkel raakt. Als het punt P op de cirkel ligt is PM2 = r2 dus is de macht nul. Ligt het punt binnen de cirkel dan is de macht ervan negatief.

 
•  Binnen de cirkel:  macht negatief
•  Op de cirkel:  macht nul
•  Buiten de cirkel:  macht positief
 
 
De macht van een punt varieert dus van -r2 (als P = M) tot oneindig groot (als P oneindig ver weg ligt).
   
Een formule ervoor..

Laten we er een formule voor gaan maken.
Neem een cirkel met middelpunt  M(a, b)  en straal r. Neem verder een punt P(xP, yP) waarvan we de macht gaan berekenen.
Stel dat PR de cirkel raakt in punt R.  Eigenlijk zoals in de tekening hierboven dus.
Nu is  PM = Ö((xP - a)2 + (yP - b)2)  en   MR = r
Dus de macht is   PM2 - r2 = (xP - a)2 + (yP - b)2 - r2

Maar hé....  Wacht eens even.......
Daar in het rood staat gewoon precies (op nul herleid, dat wel) de vergelijking van de cirkel!! Het enige is dat in plaats van x en y nu de xP en yP van het punt P waarvan we de macht wilden berekenen zijn gebruikt!! 
 
Macht van P berekenen?
•  Herleid de cirkelvergelijking op nul
•  Vul de coördinaten van P in.
 
   
Voorbeeldjes.

•   Bereken de macht van punt P(4,6) ten opzichte van cirkel  x2 + 2x + y2 - 6y + 12 = 0
    
Nou, gewoon  42 + 2 • 4  + 62 - 6 • 6 + 12 = 36

•   Bereken de macht van  P(-2, 5) ten opzichte van de cirkel  (x - 2)2 = 6x - (y + 3)2 + 10
     Herleiden op nul:  (x - 2)2 - 6x + (y + 3)2 - 10 = 0
     Invullen:    (-2 - 2)2 - 6 • -2 + (5 + 3)2 - 10 = 82

   
Goed... Wat kunnen we d'r mee?
   
1. Cirkels die elkaar loodrecht snijden.

Zoals je hiernaast ziet, is in zo'n geval de straal van de ene cirkel in het kwadraat gelijk aan de macht van het middelpunt ten opzichte van de andere cirkel.
 
r12 =  macht van M1 tov. c2 
 
Voorbeeld.   Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt (2,6) die de cirkel  x2 + y2 - 5x + 2y = 10   loodrecht snijdt.

De macht van (2,6) t.o.v. de gegeven cirkel is gelijk aan  22 + 62 - 5 • 2 + 2 • 6 - 10 =  32
De cirkel heeft dus straal √32 en middelpunt (2,6) dus het is  (x - 2)2 + (y - 6)2 = 32
   
2.  Een lijnstuk in stukken verdelen.

Zie de figuur hiernaast waar een koorde AB van een cirkel is verlengd naar punt  P.
Dan geldt:
 
AP • PB = macht van P
 

Dat betekent dus dat voor alle lijnstukken die je vanaf P naar een punt A van de cirkel tekent geldt dat  AP • PB hetzelfde is!


Het bewijs van deze stelling is eenvoudig in te zien door een hulplijn van P door het middelpunt van de cirkel te tekenen.
Dan geldt  ∠DCB = ∠DAB want beiden zijn de omtrekshoek van boog BD.
Dus zijn de driehoeken APD en CPB gelijkvormig.
AP/PD = CP/PB
AP • PB = CP • PD  = (PM + r)(PM - r) = PM2 - r2 = macht van punt P.
   
       
1. Geef een vergelijking van de cirkel met middelpunt (-2,-10) die de cirkel  x2 + y2 + 2x + y = 16   loodrecht snijdt.
     

x2 + y2 + 4x + 20y + 30 = 0

       
2. Toon aan dat de cirkels  x2 + y2 - 2x + 2y = 18  en   x2 + y2 - 16x + 34 = 0  elkaar loodrecht snijden.
       
3. Een cirkel met straal 10 en middelpunt op de y-as snijdt de cirkel  x2 + y2 + 12x - 3y + 12 = 0  loodrecht.
Bereken de coördinaten van het middelpunt van de cirkel.
     

(0, -8)  of  (0,11)

       
4. Voor een lijnstuk AB binnen een cirkel, waarop een punt P ligt geldt:
PA • PB = macht van punt P (maar dan wel positief genomen).
Het bewijs daarvan gaat op dezelfde manier als het bewijs bij een punt buiten de cirkel.

Geef dat bewijs.

       
5. Twee cirkels, waarvan c1 straal 4 en middelpunt M heeft, snijden elkaar in S.
MS snijdt cirkel c2 ook nog in punt A.
MB is een raaklijn aan c2.

Bereken de lengte van MB als gegeven is dat MA = 9.

     

MB = 6

   
De machtlijn van twee cirkels.
   
Waar liggen alle punten die dezelfde macht hebben ten opzichte van een gegeven cirkel?

Hiernaast staat een cirkel met straal 2 en daarbij allemaal punten waarvan de macht 3 is getekend. Het zijn de rode stippen. 't Is alsof een lijnstuk met lengte 6 over de buitenkant van de cirkel rolt waarbij het midden de cirkel blijft raken.

De tekening doet ons vermoeden dat al die punten met dezelfde macht wéér op een cirkel liggen, met hetzelfde middelpunt als de oorspronkelijke. (Het feit dat dit een volledig symmetrisch probleem is doet ons dat trouwens óók vermoeden).

Het bewijs van dit vermoeden is erg simpel. Kijk maar:

Neem aan dat de cirkel middelpunt (a, b) heeft en straal r. Laten we aannemen dat we de punten P(x, y) zoeken die allemaal macht m ten opzichte van deze cirkel hebben.
Dan geldt voor die punten:  m = PM2 - r2  =  (x - a)2 + (y - b)2 - r2
Daaruit volgt dat  (x - a)2 + (y - b)2 = r2 + m
En jawel! Dit is weer een cirkel, met inderdaad het zelfde middelpunt, en met straal  (r2 + m).
   
Volgende probleem:  Stel dat we twee cirkels hebben, waar liggen dan de punten waarvoor de macht ten opzichte van beide cirkels gelijk is?
Nou, dat geeft dan natuurlijk een serie cirkels. Hieronder zie je voor twee zwarte cirkels met straal 2 en 1,5  de cirkels met macht 2, 4, 8, en 16 getekend. Zelfde kleur is zelfde macht.
   

   
De punten die dezelfde macht ten opzichte van beide cirkels hebben zijn dan natuurlijk de snijpunten van cirkels met dezelfde kleur. Je ziet dat die netjes op een rechte lijn liggen. Die lijn heet de machtlijn van beide cirkels.

Laten we dit vermoeden meteen maar even bewijzen:

  Neem cirkel 1:  x2 + y2 + ax + by + c = 0  en  cirkel 2:  x2 + y2 + ex + fy + g = 0
Om de macht van een punt  P(x, y) te vinden moest je de coördinaten van dat punt invullen in de vergelijking van de cirkel.
Als P(x,y) ten opzichte van beide cirkels dezelfde macht heeft, dan moet dus gelden:
x2 + y2 + ax + by + c = x2 + y2 + ex + fy + g
daaruit volgt:   x(a - e) + y(b - f) + (c - g) = 0
Dat is inderdaad een rechte lijn.
q.e.d.  

Het zal je hopelijk (uit symmetrie-overwegingen) niet verbazen dat die machtlijn loodrecht op de verbindingslijn van beide middelpunten staat.
Vooruit, ook maar even bewijzen:

  Neem cirkel 1:  x2 + y2 + ax + by + c = 0  en  cirkel 2:  x2 + y2 + ex + fy + g = 0
Dan zijn de middelpunten  (-1/2a , -1/2b) en  (-1/2e, -1/2f)  en de lijn daartussen heeft helling  (f - b)/(e - a)
De machtlijn had vergelijking x(a - e) + y(b - f) + (c - g) = 0 en die heeft helling  (e
- a)/(b - f)
Als je deze twee hellingen met elkaar vermenigvuldigt levert dat -1 op, dus staan beide lijnen loodrecht op elkaar.
q.e.d.  

Conclusies:

 
De machtlijn van   x2 + y2 + ax + by + c = 0  en   x2 + y2 + ex + fy + g = 0
is de lijn    x(a - e) + y(b - f) + (c - g) = 0

Die staat loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten.
 

Als de twee cirkels elkaar snijden, dan is het nog eenvoudiger: de snijpunten van beide cirkels hebben macht nul ten opzichte van beide cirkels, dus liggen ze op de machtlijn. De machtlijn moet dan wel de lijn door de snijpunten zijn.
En als de cirkels elkaar raken, dan gaat de machtlijn door het raakpunt, en omdat hij loodrecht op de verbindingslijn van de middelpunten staat moet het wel de gemeenschappelijke raaklijn zijn.

 
• De machtlijn van twee snijdende cirkels is de lijn door beide snijpunten
• De machtlijn van twee rakende cirkels is de gemeenschappelijke raaklijn.
 

Deze laatste eigenschap heb je in feite al eerder gebruikt toen je de snijpunten van twee cirkels uitrekende:

Voorbeeld: 
Bereken de snijpunten van de cirkels  x2 + y2 - 4x + 6y = 52  en   x2 + y2 - x + 2y = 41

De machtlijn van beide cirkels is de lijn  -3x + 4y = 11,  ofwel  y = 0,75x + 2,75
Invullen in de eerste cirkel:  x2 + (0,75x + 2,75)2 - 4x + 6(0,75x + 2,75) = 52
x2 + 0,5625x2 + 4,125x + 7,5625 - 4x + 4,5x + 16,5 = 52
⇒ 1,5625x2 + 4,625x - 27,9375 = 0
x = 3  en dan is  y = 5.  Kennelijk raken de cirkels elkaar in (3,5)

Voorbeeld.
Gegeven zijn de cirkels  c1: x2 + 4x + y2 = 15 en  c2x2 + y2 - 8x + 2y = 20
Cirkel c3 heeft middelpunt op de x-as en snijdt beide cirkels c1 en c2 loodrecht.
Geef de coördinaten van het middelpunt M3 van c3.

Als cirkel c3 beide cirkels loodrecht snijdt, dan is de macht van  M3 ten opzichte van c1 gelijk aan r3en ook de macht van M3 ten opzichte van c2 is gelijk aan r3
M3 heeft dus gelijke macht ten opzichte van beide cirkels, dus ligt M3 op de machtlijn.
De machtlijn is de lijn   12x - 2y + 5 = 0
Als M op de x-as ligt is yM = 0  dus  12x + 5 = 0     xM = -5/12  dus M is het punt  (-5/12, 0).

   
       
6. Gegeven zijn de cirkels  c1:  x2 + y2 = 12 en  c2:  x2 + y2 + 6x = 10
Punt P heeft macht 4 ten opzichte van c1 en macht  6 ten opzichte van c2.
Geef de coördinaten van P.
     

(1/3, ±5/35)

7. Neem drie cirkels waarvan de middelpunten niet op één lijn liggen en niet samenvallen.
Dan geldt de volgende stelling:
       
 
De machtlijnen van deze drie cirkels gaan door één punt.
       
  a. Toon aan dat de machtlijnen van deze cirkels elkaar snijden als de middelpunten niet op één lijn liggen en niet samenvallen..
       
  Stel dat punt P het snijpunt is van de machtlijnen m12 en m13  (de machtlijnen van c1c2 en van c1c3).
       
  b. Toon aan dat P dan ook op de machtlijn van c1 en c2 ligt. Leg uit hoe daaruit bovenstaande stelling volgt.
       
  c. Hieronder zie je twee cirkels c1 en c2.
Gebruik bovenstaande stelling om de machtlijn van deze twee cirkels te construeren. Doe dat door een derde willekeurige cirkel c3 te tekenen die beide gegeven cirkels snijdt.
       
   

       
  d. Neem een willekeurige driehoek ABC.
Teken drie cirkels met steeds een zijde van deze driehoek als middellijn.
Toon met bovenstaande stelling aan dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan.
       
8. Gegeven zijn de cirkels  c1x2 + y2 = 13  en   c2x2 + y2 + 4x - 2y = 12
A(2, 3) is een punt van c1.
Stel een vergelijking op van de cirkel door A die c1 en c2 loodrecht snijdt.
       
  TIP:
M3 ligt op de raaklijn aan c1 in A
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)