limieten van samengestelde functies

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Limieten van samengestelde functies.
- een puur theoretisch stukje-

Voor de verandering geef ik maar eerst eens direct de stelling waar deze les over gaat:

Mooi hé?

Er zijn wel een paar voorwaarden die ik expres heb verzwegen omdat het er zo mooi en elegant uitziet (zonde om al die voorwaarden er altijd bij te moeten zetten; zouden wiskundigen vaker niet moeten doen, en alleen vermelden dat de stelling geldt onder "normale omstandigheden").
De belangrijkste voorwaarde is dat f wel continu is. (en verder dat die limiet van g(x) wel bestaat natuurlijk, dus dat g continu is bij x = a).

Ik hoop wel dat dit voor je gevoel klopt....
Kijk, als x naar a gaat en die limiet van g bestaat, dan kun je dus door x dicht genoeg bij a te kiezen, zo dicht mogelijk bij g(x) komen als je maar wilt.
Maar als f continu is, dan kun je ook zo dicht mogelijk bij f(g(x)) komen als je maar wilt (door x dicht genoeg bij a te kiezen).

Oké, dit was voor je gevoel..... Voor mij zou dat genoeg zijn trouwens.... Ik geloof het wel....

Als je toch meer bewijs nodig hebt (met ε's en δ's en zo) moet je maar hiernaast kijken

Eigenlijk hebben we deze stelling al vaak gebruikt. Zonder er verder veel bij na te denken.

Kijk maar naar dit voorbeeld:

We berekenen in feite de limiet van dat stuk onder die wortel (g(x)).
Dat gaat naar 2
Dan zeggen we daarna dat de wortel daarvan dan naar √2 gaat (f(x) = √x)

Eigenlijk best logisch...
Maar nu formeel bewezen!