© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Berekeningen met de groeiformule
       

y  =  B • gx
       
Daar is de formule nogmaals. Vaak zul je hem tegenkomen in de vorm  N = B • gt  en dan is N het aantal ergens van en t de tijd.
De formule heeft 4 letters, dus er zijn eigenlijk 4 soorten berekeningen die je tegen kunt komen. Steeds moeten er 3 van de 4 bekend zijn en dan kun je die vierde uitrekenen.

Denk erom dat je daarvoor je GR mag gebruiken!!!!

Van elke maar een voorbeeldje.
       
 
Berekening 1.  y is onbekend.
Het aantal kakkerlakken in een flatgebouw neemt elke week met 8% toe.
Nu zijn het er 850.  Hoeveel zijn het er over 10 weken?

oplossing:   B = 850, g = 1,08  en  x = 10.  Gewoon invullen:   y = 850 • 1,0810 = 1835.

y = B·gx
       
 
Berekening  2.  B is onbekend.
Een bank geeft mij 2,3% rente per jaar.
Hoeveel moet ik nu op een rekening zetten om over 15 jaar  €10000 te hebben?

oplossing:  y = 10000, g = 1.023,  x = 15. 
Invullen geeft:  10000 = B • 1,02315
10000 = B • 1,406 ⇒   B = 10000/1,406 = €7110

y = B·gx
       
 
Berekening  3.  g is onbekend.
Het aantal inwoners van een stad is de laatste 12 jaar afgenomen van 56000 naar 32500.
Hoeveel procent afname per jaar is dat? 

oplossing:  y = 32500,  B = 56000,  x = 12. 
Invullen geeft  32500 = 56000 • g12
Die doen we lekker met de GR.
Y1 = 32500
Y2 = 56000 * X^12
Intersect geeft dan  X = g = 0,9557
Dat is een afname van 4,43% per jaar.

y = B·gx
       
 
Berekening  4.  x is onbekend.
Het aantal bacteriën in een biefstuk verdubbelt elke dag.
Als het er nu 200 zijn, hoe lang duurt het dan voordat het er 1 miljard zijn?

oplossing:  y = 1000000000,  B = 200, g = 2
Invullen geeft  1000000000 = 200 • 2x
Die doen we lekker met de GR.
Y1 = 1000000000
Y2 = 200 * 2^X
Intersect geeft dan  X = t = 22,2 dagen

y = B·gx
       
Verdubbelen en Halveren.
       
Hiernaast staat de grafiek van iets dat exponentieel afneemt.

(Dan weten wij als kenners dus direct dat de groeifactor g kleiner zal zijn dan 1)

Op de y-as staat de hoeveelheid, en op de x-as de tijd.
De beginwaarde is 16.
In de grafiek hiernaast is elke keer gekeken naar wanneer de hoeveelheid zal zijn gehalveerd. Dat is (op de y-as) eerst bij de waarde 8, dan 4, dan 2 enz.
De bijbehorende punten zijn op de grafiek aangegeven, en er lijkt niet echt een regelmaat te zien, totdat je kijkt naar de rode pijlen hiernaast.

Die zijn allemaal even lang!!
       
Hoe berekenen we zo'n halveringstijd?

Nou, heel simpel. Stel de eindwaarde gewoon gelijk aan de helft van de beginwaarde.
Stel bijvoorbeeld dat de grafiek hierboven groeifactor 0,8 had, dan is de formule ervan   y = 16 • 0,8t  want de beginwaarde was 16.
Bij de halveringstijd is de hoeveelheid 8 geworden dus geldt  8 = 16 • 0,8t .
Invoeren in de GR en dan intersect geeft  t =  3,11 en dat is dus de halveringstijd.

En als je de beginwaarde niet weet?
Nou dan kies je maar wat, we zagen hierboven immers al dat dat niets uitmaakt..
Vroeger koos ik altijd  B = 100  (van 100%) en dan was dus y = 50.
Maar ik heb intussen ontdekt dat het veel handiger is om B = 1 te kiezen! Dan is y= 0,5 en dan  staat er namelijk  0,5 = gt
Handig!
Zo handig zelfs dat ik nu altijd B = 1 kies ook al weet ik dat B eigenlijk iets anders is!!!!!
       

halveringstijd vinden:  los op  gt = 0,5
       
En wat we nu voor halveringstijden hebben gevonden geldt ook voor allerlei "andere tijden":

•  verdubbelingtijd:  gt = 2
•  verdrievoudigingstijd:  gt = 3
•  tot-twintig-procent-terugbreng-tijd:  gt = 0,2
•  met-twintig-procent-verminder-tijd:  gt = 0,8
•  enz.  Ik merk dat ik een beetje op hol sla. Je hebt het vast al wel door...........
       
 
       
                                       
       
  OPGAVEN.
       
1. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2006

Bij het wielrennen zie je soms dat wielen van fietsen dicht zijn. Op het normale wiel met spaken is dan een plastic schijf aangebracht.
Op een racefiets met dichte wielen kun je harder fietsen dan op een racefiets met open wielen: de luchtwrijving is bij een dicht wiel minder dan bij een open wiel. Dat is onderzocht op de volgende manier:
Men laat een dicht wiel en een open wiel vrij draaien. Door de luchtwrijving gaan ze steeds langzamer draaien. Met behulp van een fietscomputer wordt de snelheid van de wielen gemeten.

Een dicht wiel en een open wiel krijgen een beginsnelheid  van 20 km/uur. We laten de wielen drie minuten draaien. Hierbij passen de volgende formules:  Vdicht = 20 • 0,9920t  en  Vopen = 20 • 0,9879t 
In beide formules is t in seconden en V in kilometer per uur.
In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van deze formules voor de eerste twee minuten.
       
 

       
  Op een zeker moment is de snelheid van een wiel half zo groot geworden. Bij het dichte wiel is dat wat later dan bij het open wiel. In de figuur is met een pijl aangegeven hoe groot het verschil in de tijd is.
       
  a. Bereken met behulp van de formules dit verschil in tijd in seconden.
       
  Beide wielen krijgen op hetzelfde moment een snelheid van 20 km/uur en we laten ze weer drie minuten draaien. Het dichte wiel heeft steeds een hogere snelheid.
       
  b. Bereken met behulp van de formules het grootste verschil in snelheid tussen de twee wielen.
       
2. Er worden steeds meer medicijnen verkocht. Als een medicijn goed lijkt te werken, stijgt de verkoop extra snel. Zo'n medicijn is Rustical, dat kalmerend werkt.

Het aantal personen per jaar dat Rustical kreeg voorgeschreven wordt sinds 1991 bij benadering gegeven door 
A(t) = 3900 • 1,3t. Hierin is t het aantal jaren vanaf 1991 en A(t) het aantal personen per jaar.
       
  a. Onderzoek in hoeveel tijd volgens dit model het aantal personen per jaar dat Rustical krijgt voorgeschreven tien keer zo groot wordt. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.
       
  Het aantal recepten Rustical dat werd voorgeschreven is vanaf 1991 ook bij benadering exponentieel gestegen. In 1996 bedroeg het aantal voorgeschreven recepten voor Rustical  42000 en in 1999 was dit aantal 157000.
       
  b. Toon door een berekening aan dat het jaarlijkse groeipercentage voor het aantal recepten ongeveer gelijk is aan 55%.
       
  c. Bereken met hoeveel procent het gemiddeld aantal recepten per patiënt is toegenomen in de periode 1996 - 1999. Rond je antwoord af op een geheel getal.
       
3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2013.

In de figuur hieronder is voor de periode 1993 - 2011 de ontwikkeling van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW) weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering) exponentieel gegroeid.
       
 

       
  In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen 2900 MW. In 2011 was dit 239000 MW.
       
  a. Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens volgt.
       
  b. Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen verwacht. Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het jaar 2011.
       
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2019-II.

De kievit is een weidevogel. Het aantal kieviten in Nederland neemt af. Dit komt onder andere door intensivering van de landbouw en door uitbreiding van het stedelijk gebied.
We maken in deze opgave onderscheid tussen de aantallen broedende en niet-broedende kieviten.
       
 

       
  In de periode 1990-2010 nam het aantal broedende kieviten elk jaar met 3% af.
       
  a. Bereken met hoeveel procent het aantal broedende kieviten in de periode 1990-2010 is afgenomen. Geef je antwoord in hele procenten.
       
  Na 2010 nam het aantal broedende kieviten in Nederland elk jaar met 5% af. Neem aan dat deze afname zo doorgaat.
       
  b. Bereken in welk jaar het aantal broedende kieviten voor het eerst minder dan de helft zal zijn van het aantal in 2010.
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)