Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Exponentiële groei aantonen.

Laten we een willekeurige tabel nemen:

t	4,0	7,0	9,2	12,8
N	7,43	16,31	29,06	74,72

De vraag is nu: beschrijft deze tabel een exponentieel verband, en kunnen we daar een formule van vinden?

We kunnen nu niet gewoon kijken of de N-getallen elke keer met dezelfde factor worden vermenigvuldigd, omdat de stapjes van de t niet even groot zijn.

Laten we het daarom per geval apart bekijken:

•

Tussen t = 4,7 en t = 7,0 neemt N toe met groeifactor ^16,31/_7,43 = 2,1951
Maar dat zijn 3 stapjes, (van 4,0 naar 7,0) dus g³ = 2,1951
De GR geeft dan g = 1,3 (Y1 = X^3 en Y2 = 2,1951 en dan intersect)

•

Tussen t = 7,0 en t = 9,2 neemt N toe met groeifactor ^29,06/_16,31 = 1,7817
Maar dat zijn 2,2 stapjes, (van 7,0 naar 9,2) dus g^2,2 = 1,7817
De GR geeft dan g = 1,3 (Y1 = X^2,2 en Y2 = 1,7817 en dan intersect)

•

Tussen t = 9,2 en t = 12,8 neemt N toe met groeifactor ^74,72/_29,06 = 2,5712
Maar dat zijn 3,6 stapjes, (van 9,2 naar 12,8) dus g^3,6 = 2,5712
De GR geeft dan g = 1,3 (Y1 = X^3,6 en Y2 = 2,5712 en dan intersect)

Alle gevonden g's zijn gelijk dus er is sprake van exponentiële groei.

exponentiële groei: alle g's zijn gelijk.

We weten nu dat de g per stapje gelijk is aan 1,3.
De formule wordt dan N = B • 1,3^t

Kies nu een willekeurig punt van de tabel, bijvoorbeeld t = 4,0 en N = 7,43
Vul dat in: 7,43 = B • 1,3^4,0 dus 7,43 = B • 2,8561
Dan is B = ^7,43/_2,8561 = 2,6
De formule is dus N = 2,6 • 1,3^t

Grafieken van exponentiele groei.

Exponentiële grafieken zijn altijd gekromde grafieken, maar er zijn twee soorten.
Er zijn grafieken die toenemen (stijgen) en grafieken die afnemen (dalen).
Dat is natuurlijk ook logisch, want als g groter dan 1 is, dan neemt de hoeveelheid toe, en als g kleiner dan 1 is, dan is er afname.

Dat geeft de volgende twee soorten grafieken:

Je ziet dat de B het beginpunt op de y-as is, net zoals bij rechte lijnen dat b was (van y = ax + b, weet js nog?).
0 < g < 1 betekent dat g tussen 0 en 1 zit (gevallen waarbij g kleiner dan 0 is zullen we niet tegenkomen).

Bovenstaande grafieken zijn alleen getekend voor x > 0 omdat dat in de meeste gevallen ook zo is.
Als je ze doortrekt voor x < 0 dan krijg je de volgende twee grafieken:

OPGAVEN.

Geef een formule voor onderstaande exponentiële tabellen. Toon eerst aan dat het gaat om een exponentieel verband.

x	0,9	4,5	6,2	8,9	12,1	13,4
y	8,5	70	191	935	6134	13171

x	-8,7	-7,6	-4,4	-3,5	-2,1	-1,8
y	5,00	4,45	3,18	2,89	2,50	2,42

Hieronder staan 3 grafieken van de vorm y = B • g^x
Bepaal van elk van deze grafieken zo goed mogelijk de waarden van B en g.

De dikte van de ozonlaag neemt de laatste tijd onrustbarend af, vooral door het gebruik van drijfgassen in spuitbussen. Metingen leverden de volgende tabel:

jaar	dikte in m
1980 1981 1982 1983	1486 1441 1398 1356

jaar	dikte in m
1984 1985 1986 1987	1316 1276 1238 1201

Bewijs dat deze afname exponentieel is en geef een formule voor de dikte (D) als functie van de tijd t (in jaren met t = 0 in 1980)

In hoeveel tijd halveert de dikte van de ozonlaag?

Het stralingsniveau (S) op een bepaalde plaats direct na het inslaan van een lange-afstands raket met nucleaire kop hangt af van de afstand (a in km) tot de plaats van inslag. Metingen leverden de volgende tabel:

stralingsniveau (S)	161000	108000	32600	12000	4400
afstand (a)	2	4	10	15	20

Er blijkt te gelden S(a) = 240000 • 0,8^a

Leg duidelijk uit hoe deze formule uit bovenstaande tabel valt af te leiden. Toon daarbij eerst aan dat het hier gaat om exponentiële afname.

De voor een mens dodelijke dosis straling is 200 of meer. Tot welke afstand vanaf de plaats van inslag zullen er direct doden gaan vallen?

Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2022-I

In 2015 was het jaargemiddelde van de CO₂-concentratie in de lucht 400,8 ppm (parts per million: het aantal CO₂-deeltjes per miljoen luchtdeeltjes)
Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de CO₂-concentratie omlaag te brengen. Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO₂-concentratie na 2015 zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
- een lineair verband of
- een exponentieel verband.

In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO₂-concentratie van bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.

Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen de CO₂-concentratie het eerst de waarde 375 ppm bereikt.