De blokkendoos
       
Losse stukken en Lijm
       
Als een echte wiskundige een formule (dat is een regel met letters en cijfers) ziet staan, dan ziet hij nooit in ιιn keer de hele formule, maar hij ziet al wιl uit welke blokjes de formule is opgebouwd. In ιιn oogopslag!
't Is eigenlijk net als bij een bouwwerk uit een bouwdoos: ook een ingewikkelde formule is toch eigenlijk uit losse blokjes opgebouwd.

Ook jij kan dat leren want het is eigenlijk heel simpel (echt waar!)
De grote TRUC is: 
       
  •  PLUS en MIN  knipt de dingen los van elkaar.
  •  KEER en GEDEELD DOOR  plakt de dingen aan elkaar.
       

       
Laten we een voorbeeldje nemen:     

2 • 3 + 4 + 5 • 6 - 7 • 8 • 2 + 3 : 4

Een ervaren wiskundige ziet in deze formule eigenlijk VIJF verschillende blokjes  staan.

Jij ook???

Deze regel ziet er door de bril van een wiskundige  zσ uit:
       

       

Nog maar een voorbeeldje dan? Met letters erbij deze keer!
Hoeveel  blokjes staan hier?

2 x + 3 + 5 y  x - 7 • p + 8 - 4 : s

ZES natuurlijk!!!

Tussen 2 en x staat niets, maar dat is eigenlijk "keer" (er had net zo goed een stip kunnen staan)
Hetzelfde geldt tussen 5 en y en x:  eigenlijk staat daar 5 • y • x, dus dat is ιιn geheel.
Omgekeerd had de stip tussen 7 en p er net zo goed niet kunnen staan.
Samengenomen ziet een wiskundige dus dit:
       

       
Blokjes vereenvoudigen.
       
Eerst maar even een simpele bewering:
       
bij vermenigvuldigen doet de volgorde er niet toe.
       
Dat zul je vast wel met mij eens zijn.
Immers 3 • 4 = 4 • 3  en ook   2 • 5 • 6 = 5 • 6 • 2 = 5 • 2 • 6  enz.
Deze simpele bewering heeft wel gevolgen voor onze blokkendoos!

Dat betekent dat we binnen ιιn blokje de volgorde zelf mogen bepalen.
In plaats van  2 • x • 3  mag je ook wel ook wel schrijven  2 • 3 • x. 
Omdat je ook hier zelf mag weten wat je eerst doet, kun je dus best alvast 2 • 3 uitrekenen. Je kiest er gewoon voor om dat eerst te doen.
Dan staat er namelijk in plaats van 2 • 3 • x  ineens  6 • x  ofwel  6x  en dat ziet er een stuk eenvoudiger uit.
Conclusie:
       

binnen ιιn blokje mag je alvast alle getallen met elkaar vermenigvuldigen.

(de letters daar  kun je niks mee, want je weet niet welk getal ze zijn)
       
Blokjes samennemen.
       
Soms kun je formules vreeenvoudigen door sommige blokjes samen te nemen. Daarvoor geldt: 
       

Je mag blokjes samennemen als de letters precies gelijk zijn
       
Dus bijvoorbeeld  2x + 3x  kun je samennemen want die hebben beiden alleen de letter x, maar 5a + 2x niet, want de eerste heeft de letter a en de tweede de letter x.
Ook 2ab + 3a  kun je NIET samennemen, want de eerste heeft de letter a en de tweede ab, Dat is niet precies gelijk!
       
Hoe gaat dat samennemen in z'n werk?

Dat is heel eenvoudig.
Doe je bijvoorbeeld 5 keer "iets" plus nog 8 keer "iets" dan heb je in totaal 13 keer "iets" gedaan.
       

       
In die zwarte doos mag alles zitten, zolang in alle dozen maar precies hetzelfde zit.
Als er x in zit, dan staat hier bijvoorbeeld  5x + 8x = 13x.  Maar als er  ab in zit dan staat hier  5ab + 8ab = 13ab.
Bedenk goed dat onze blokjes er zo uitzien:
       

       
Bij het samennemen van de twee blokjes aan de linkerkant tel je dus de cijfers bij elkaar op, en je schrijft de rest (de zwarte doos) ιιn keer over.
       
Samennemen van twee blokjes:
•  Tel de getallen bij elkaar op.
•  Schrijf de letters ιιn keer over.
       
En als er geen getal staat?
Dan staat er eigenlijk het getal 1.
Dus  2a + a  = 2a + 1a = 3a
       
Mintekens.
 

1.  Tussen twee blokjes in.

Natuurlijk komen er ook mintekens in wiskunde opgaven voor, maar weet je, die zijn eigenlijk niet zo heel interessant!
Dat komt omdat MIN en PLUS eigenlijk hetzelfde is!
Kijk, de opgave   8 - 5  kun je ook lezen als  8 + (-5)
Eigenlijk is er geen verschil tussen optellen en aftrekken. Aftrekken is gewoon optellen maar dan met een negatief getal! 
Voor letter-rekenen geldt dat dan natuurlijk ook.
6x - 4x  kun je ook lezen als  (6x) + (-4x). Daar staan twee blokjes met precies dezelfde letter dus die kun je samennemen. Je telt de getallen op (in dit geval 6 + -4 = 2) en je schrijft de letter ιιn keer over. Dat geeft  6x - 4x = 2x.

Ik zal voor de duidelijkheid zo'n minteken tussen twee blokjes aangeven met een groot minteken: -   en zo'n minteken van  "negatief getal" met een klein minteken:  -
Je rekenmachine doet dat trouwens  ook.

 
dingen van elkaar aftrekken:  -


negatieve getallen:   (-)

      


Voor letter-rekenen geldt dat dan natuurlijk ook.
6x - 4x  kun je ook lezen als  (6x) + (-4x). Daar staan twee blokjes met precies dezelfde letter dus die kun je samennemen. Je telt de getallen op (in dit geval 6 + -4 = 2) en je schrijft de letter ιιn keer over. Dat geeft  6x - 4x = 2x.

En met meer blokjes gaat het precies zo:
       

       
Dat wordt dus 4x, want 12 + (-3) + (-5) = 4.
Je ziet wel:

zo'n minteken hoort eigenlijk bij het blokje waar hij direct vσσr staat.
       
Mintekens binnen ιιn blokje.

Dat is nog veel makkelijker. We hebben immers al geleerd dat je binnen ιιn blokje alles mag uitrekenen wat je maar kunt. Nou, dan hoef je alleen maar te weten dat:

min Χ min = plus
min Χ plus = min
plus Χ min = min
       
Dus bijvoorbeeld het blokje  (-2x • 3y) kun je vereenvoudigen tot -6xy  (want  -2 • 3 = -6)
En het blokje  -4a • -5b  kun je vereenvoudigen tot  20ab  (want -4 • -5 = 20)
En het blokje  -3 • p • -2 • -6  kun je vereenvoudigen tot  -36p  (want  -3 • -2 • -6 = -36)

KIJK GOED UIT:  ιιn zo'n stipje kan verschil maken:

2x - 3y - 4xy  kun je niet verder vereenvoudigen want daar staan drie blokjes met verschillende letters.

2x • -3y - 4xy  kun je wιl vereenvoudigen, kijk maar:
       
DIE ENE STIP MAAKT NOGAL VERSCHIL!
       
Houd dit goed uit elkaar!
Er zijn drie verschillende gevallen met "twee minnen". Kijk hoe het met getallen gaat en hoe het (dus ook) met blokjes gaat:
       
    -3 - 4 = -7
2 -  - 4 = 6
-2 • -3 = 6		 3x - 4x = -7x
2 - -4x = 6x
-2x • -5 = 10x

 
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Vereenvoudig zoveel mogelijk.
  a. 2a + 3 + 4a + 6
  b. 3x + 4x + 5 + 8
  c. 3m + 2n + 4m + 5
  d. 2x + 4x + 5 + x + 6
  e. 14a + 2b + b + 4 + 2a
  f. 2m + 3mn + 4n + m + 5n
       
2. Vereenvoudig zoveel mogelijk.
  a. 2a • 4 + 4 • a • 3 + 3 • a
  b. x • 5 + 6 + 4 • x • 2 + 8
  c. 2x • 2 • 3 + 5 + 8 • x
  d. p • q • 3 + q • 5 • p + 3p
  e. 2abc + 3ab + 4bac + 4ba
  f. 12 + 2xy + 3x • 2y + 8
       
3. Vereenvoudig zoveel mogelijk.
  a. 2 • -x • 4  - 6x
  b. -2p - 4p • -6 + 4 - p
  c. x • -4 + 5x - x - x • -5
  d. -2a • -b • -3 + 4a  -  3a • -b  - a
  e. mn - 4 • 5mn  - 2m • -3n
  f. -4P • -Q  -  QP  + 2P • -5 - Q  + 3Q - Q • 7P
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)